Тест 19. Касательная к окружности Вариант 2 A1. Отрезки касательных АВ и ВС, проведенных из точки В к окружности с центром О, образуют угол, равный 60", ОВ 28 см. Чему равен отрезок АО 1) 28 см 2) 42 см 3) 56 см 4) 14 см А2. Прямая АВ касается окружности с центром О ра- диуса 2 см в точке А так, что ОА АВ. Чему равен отре зок ОВ? 1) 2√2 см 2) 4 см 3) 2 см 4) 3√2 см АЗ. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точ ки В к окружности с центром О. АВ6, ВО 12. Чему равен угол АВС? 1) 30° 2) 120° 3) 60° 4) 90° А4. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 5 см. Известно, что АО-ОВ = 13 см. Чему равна дли на АВ? 1) 24 см 2) 12 см 3) 26 см 4) 10 см В1. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М, Ки Р соответственно так, что ВМ = 5 см, РС 7 см, а периметр треугольника АВС равен 32 см. Найдите длину стороны АС. В2. АВ и ВС отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 6 см. Найдите пери- метр четырехугольника АВСО, если угол АВС равен 60°. СІ. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке Е. Найдите СЕ, если радиус окружности равен 6 см.

A1

Треугольник ABO - прямоугольный (касательная перпендикулярна радиусу). Угол ABO = 60°, OB = 28 см. Надо найти AO.

Так как \(OB = 28\), а \(\angle ABO = 60^\circ\), то \(AO = 2 \cdot OB\) (свойство угла 30° в прямоугольном треугольнике). Тогда \(AO = 2 \cdot 28 = 56\) см.

Ответ: 3) 56 см

A2

Прямая AB касается окружности с центром O радиуса 2 см в точке A, OA = AB. Надо найти OB.

Треугольник OAB - прямоугольный, \(OA = AB = 2\). По теореме Пифагора, \(OB^2 = OA^2 + AB^2\), значит, \(OB^2 = 2^2 + 2^2 = 8\), откуда \(OB = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) см.

Ответ: 1) \(2\sqrt{2}\) см

A3

AB и BC - отрезки касательных, проведенных из точки B к окружности с центром O. AB = 6, BO = 12. Надо найти угол ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO (угол OAB = 90°, так как AB - касательная). Синус угла ABO равен \(\frac{AO}{BO} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Следовательно, угол ABO = 30°, а угол ABC = 2 * 30° = 60°.

Ответ: 3) 60°

A4

Прямая AB касается окружности с центром O радиуса 5 см. Известно, что AO = OB = 13 см. Надо найти длину AB.

Треугольник OAB - прямоугольный (угол OAB = 90°, так как AB - касательная). По теореме Пифагора, \(AB^2 = OB^2 - OA^2\), значит, \(AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\), откуда \(AB = \sqrt{144} = 12\) см.

Ответ: 2) 12 см

B1

Стороны AB, BC и AC треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках M, K и P соответственно так, что BM = 5 см, PC = 7 см, а периметр треугольника ABC равен 32 см. Надо найти длину стороны AC.

Пусть AM = x, тогда AP = x (касательные из одной точки). BK = BM = 5 см, CK = CP = 7 см. Тогда AB = x + 5, BC = 5 + 7 = 12, AC = x + 7. Периметр P = AB + BC + AC = x + 5 + 12 + x + 7 = 2x + 24. Так как периметр равен 32 см, то 2x + 24 = 32, откуда 2x = 8, x = 4. Значит, AC = x + 7 = 4 + 7 = 11 см.

Ответ: AC = 11 см

B2

AB и BC - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром O радиуса 6 см. Надо найти периметр четырехугольника ABCO, если угол ABC равен 60°.

Так как AB и BC - касательные, то углы BAO и BCO - прямые. Тогда угол AOC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°. Треугольники ABO и CBO равны (по двум катетам), значит, AB = BC. Угол ABO = угол CBO = 30°. Так как AO = 6 (радиус), то AB = \(\frac{AO}{\tan 30^\circ} = \frac{6}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6\sqrt{3}\). Тогда периметр ABCO = 2 * (6 + 6\sqrt{3}) = 12 + 12\sqrt{3} = 12(1 + \sqrt{3})\) см.

Ответ: \(12(1 + \sqrt{3})\) см

C1

Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке E. Надо найти CE, если радиус окружности равен 6 см.

Треугольник AOC равнобедренный (AO = OC = R), значит, угол OCA = угол OAC = 30°. Тогда угол COB = 60°. Треугольник OCE - прямоугольный (CE - касательная), значит, угол CEO = 90° - угол OCB = 90° - (угол OCO + угол OCA) = 90° - (90° + 30°) = 60°. Треугольник OCB - прямоугольный, значит, OC = R = 6 см, а CE = OC * \(\tan 60^\circ = 6\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(6\sqrt{3}\) см