Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаТест 16. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Вариант 1 А1. В треугольнике ABC ∠C= 90°, ∠A=41", ВС-5 см. Найдите длину АС. 1)5-cos41 2) 5:tg41" 5 A2. sin a = . Найдите tga. 13 1) 12 2) 13 12 3) 5 4) 13 12 АЗ. В треугольнике КСР (КС = СР) ∠C=68°, KC = 12 см. Найдите длину КР. 1) 12 cos 34° 2) 6 cos 34° 3) 24-sin 34° 4) 24: sin 34° А4. Вычислите значение выражения sin² 60° - 3tg45". 1)-2,25 2)-1,25 3)-0,75 4)-1,5 В1. В треугольнике АВС ∠C= 90°, CD - высота, ∠A = ∠a, АВ = к. Найдите длины АС, BC, AD. В2. Стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см, угол между ними 45°. Найдите высоты параллелограмма. С1. В прямоугольной трапеции меньшее основание рав- но 6, а меньшая боковая сторона 2√3. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°. С2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) ∠A = 30°. Найдите высоту, опущенную к основанию, если AD = 20 см (Д є прямой АВ, CD 1 AB). 40
Ответ:
A1.
В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90° и ∠A = 41°, нужно найти длину AC, зная, что BC = 5 см. Используем тригонометрическое соотношение:
\[ tg(A) = \frac{BC}{AC} \]
Выразим AC:
\[ AC = \frac{BC}{tg(A)} \]
Подставим известные значения:
\[ AC = \frac{5}{tg(41°)} \]
Следовательно, правильный ответ:
2) 5 : tg41°
A2.
Дано: sin α = 5/13. Нужно найти tg α.
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[ sin^2(α) + cos^2(α) = 1 \]
Выразим cos α:
\[ cos(α) = \sqrt{1 - sin^2(α)} \]
Подставим значение sin α:
\[ cos(α) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \]
Теперь найдем tg α:
\[ tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \]
Следовательно, правильный ответ:
1) 5/12
A3.
В треугольнике KCP (KC = CP), ∠C = 68°, KC = 12 см. Нужно найти длину KP.
Используем теорему косинусов:
\[ KP^2 = KC^2 + CP^2 - 2 \cdot KC \cdot CP \cdot cos(C) \]
Так как KC = CP = 12 см:
\[ KP^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot cos(68°) \]
\[ KP^2 = 144 + 144 - 288 \cdot cos(68°) \]
\[ KP^2 = 288 - 288 \cdot cos(68°) \]
\[ KP^2 = 288 \cdot (1 - cos(68°)) \]
\[ KP = \sqrt{288 \cdot (1 - cos(68°))} \]
Приближенно cos(68°) ≈ 0.3746:
\[ KP = \sqrt{288 \cdot (1 - 0.3746)} = \sqrt{288 \cdot 0.6254} = \sqrt{180.1152} ≈ 13.42 \]
Проверим предложенные варианты:
1) 12 \cdot cos 34° ≈ 12 \cdot 0.829 ≈ 9.95
2) 6 \cdot cos 34° ≈ 6 \cdot 0.829 ≈ 4.97
3) 24 \cdot sin 34° ≈ 24 \cdot 0.559 ≈ 13.42
4) 24 : sin 34° ≈ 24 : 0.559 ≈ 42.93
Следовательно, наиболее близкий ответ:
3) 24 \cdot sin 34°
A4.
Вычислим значение выражения sin² 60° - 3tg45°.
Известно, что sin 60° = √3/2 и tg 45° = 1.
Тогда:
\[ sin^2(60°) - 3tg(45°) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 3 \cdot 1 = \frac{3}{4} - 3 = 0.75 - 3 = -2.25 \]
Следовательно, правильный ответ:
1) -2,25
B1.
В треугольнике ABC ∠C = 90°, CD - высота, ∠A = ∠α, AB = k. Нужно найти длины AC, BC, AD.
Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABC. Так как ∠A = ∠α, то можно выразить AC и BC через k и тригонометрические функции угла α:
\[ AC = k \cdot cos(α) \]
\[ BC = k \cdot sin(α) \]
2) Рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике:
\[ AD = AC \cdot cos(α) \]
Подставим AC = k \cdot cos(α):
\[ AD = k \cdot cos^2(α) \]
B2.
Стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см, угол между ними 45°. Найдите высоты параллелограмма.
Решение:
Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:
\[ S = a \cdot b \cdot sin(γ) \]
где a и b - стороны параллелограмма, γ - угол между ними.
В нашем случае a = 4 см, b = 5 см, γ = 45°.
\[ S = 4 \cdot 5 \cdot sin(45°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \]
Площадь также можно вычислить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
\[ S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \]
где h_a - высота, проведенная к стороне a, h_b - высота, проведенная к стороне b.
Высота, проведенная к стороне 5 см:
\[ h_b = \frac{S}{b} = \frac{10\sqrt{2}}{5} = 2\sqrt{2} \]
Высота, проведенная к стороне 4 см:
\[ h_a = \frac{S}{a} = \frac{10\sqrt{2}}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]
C1.
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6, а меньшая боковая сторона равна 2√3. Один из углов равен 120°. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC - основания, AB - меньшая боковая сторона, CD - большая боковая сторона, ∠A = 90°, ∠C = 120°. Пусть BC = 6 и AB = 2√3.
Проведем высоту CE к основанию AD. Тогда ∠D = 180° - 120° = 60°.
Рассмотрим треугольник CED. В этом треугольнике ∠CED = 90°, ∠D = 60°, CE = AB = 2√3.
\[ ED = CE \cdot ctg(60°) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 \]
\[ CD = \frac{CE}{sin(60°)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 \]
Тогда AD = BC + ED = 6 + 2 = 8.
Площадь трапеции равна:
\[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{8 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 14\sqrt{3} \]
C2.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC), ∠A = 30°. Найдите высоту, опущенную к основанию, если AD = 20 см (D ∈ прямой AB, CD ⊥ AB).
Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то ∠A = ∠C = 30°.
2) ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 30° = 120°.
3) Рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике ∠ADC = 90°, ∠A = 30°.
4) Найдем CD:
\[ CD = AD \cdot tg(30°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \]
Проверка за 10 секунд: Убедись, что все формулы применены верно и численные значения подставлены правильно.
Доп. профит: Редфлаг - Всегда проверяй размерность, чтобы не допустить ошибок.
