Тест 5. Угол между прямыми Вариант 1 1. Прямая а не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Чему равен угол между прямыми а и AD, если а || ВС? a) 90°; б) 0°; в) 180°; г) 45°. 2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Чему равен угол между прямыми A₁D и DC₁? a) 90°; б) 30°; в) 60°; г) 45°. 3. Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁. Точки Д, Е и F - середины ребер А₁С₁, АВ и ВС соответственно. Чему равен угол между прямыми В₁D и EF? a) 90°; б) 60°; в) 0°; г) 45°. 4. Дан тетраэдр DABC. Tочки М, N и К — середины ребер AD, DB и DC соответственно. Косинус УГЛА между прямыми MN и ВК равен: a) 3/2; б) √3/2; в) 1/2; г) 0. 5. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки F и М — середины ребер АВ и D₁C₁ соответственно. Косинус угла между прямыми А₁F и DM равен: a) √5/4; б) 5/9; в) √3/2; г) 3/5.

Предварительный анализ

Предмет: Математика (Геометрия)

Класс: 10-11

Решение:

1. Прямая a параллельна BC, а значит, и AD (так как BC || AD в параллелограмме). Угол между параллельными прямыми равен 0°.

Ответ: б) 0°

2. В кубе все ребра равны и все углы между смежными ребрами равны 90°. Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁DC₁. A₁D и DC₁ являются диагоналями граней куба, следовательно, они равны. Значит, треугольник A₁DC₁ - равнобедренный, а угол A₁DC₁ равен 45° (так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, и сумма углов в треугольнике равна 180°).

Ответ: г) 45°

3. В правильной треугольной призме ABC A₁B₁C₁ точки D, E и F - середины ребер A₁C₁, AB и BC соответственно. Прямая EF является средней линией треугольника ABC и параллельна AC. Прямая B₁D лежит в плоскости A₁B₁C₁. B₁D и AC скрещивающиеся прямые, угол между ними 90°. Прямая B₁D перпендикулярна плоскости основания призмы. EF лежит в основании, значит EF перпендикулярно B₁D. Если прямые B₁D и EF перпендикулярны, то угол между ними равен 90°.

Ответ: a) 90°

4. В тетраэдре DABC точки M, N и K - середины ребер AD, DB и DC соответственно. Рассмотрим треугольник DBC. NK - средняя линия треугольника DBC и параллельна BC. Рассмотрим треугольник ABD. MN - средняя линия треугольника ABD и параллельна AB. Косинус угла между прямыми MN и BK равен косинусу угла между прямыми AB и BK. Т.к. K- середина DC, то AB и BK перпендикулярны, угол равен 90°, а косинус 90° = 0.

Ответ: г) 0

5. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки F и M - середины ребер AB и D₁C₁ соответственно. Рассмотрим прямоугольник ABB₁A₁. Т.к. F - середина AB, то A₁F - медиана прямоугольника. Косинус угла между прямыми А₁F и DM равен 3/5.

Ответ: г) 3/5