Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаТэст 2. МіK — сярэдзіны староN AC і AB. Знайдзіце ∠A.
Ответ:
Рашэнне:
У трэцім тэсце трэба выкарыстоўваць уласцівасць сярэдняй лініі трохвугольніка.
У задачы 2 дадзена, што M і K — сярэдзіны старон AC і AB адпаведна. Гэта азначае, што MK з'яўляецца сярэдняй лініяй трохвугольніка ABC.
Адпаведна, MK || BC і MK = \( \frac{1}{2} \) BC.
У задачы трэба знайсці вугал A.
З дадзенай выявы мы бачым, што:
- Вугал C = \( 92^{°} \)
- Вугал BMC = \( 126^{°} \)
Разгледзім трохвугольнік BCM.
Сума вуглоў у трохвугольніку роўная \( 180^{°} \).
Вугал BCM = \( 180^{°} - 92^{°} = 88^{°} \) (як сумесны вугал з вуглом C).
Вугал CBM = \( 180^{°} - 126^{°} - 88^{°} \) - тут памылка, бо вугал CBM не можа быць адмоўным.
Давайце паглядзім яшчэ раз на выяву.
У трэцім тэсце ўмовы былі: «Знайдзіце аснову AD трапецыі ABCD, калі M і K — сярэдзіны яе дыяганалей.»
Але на малюнку да тэсту 2 прыведзены трохвугольнік ABC, дзе M і K — сярэдзіны бакоў.
З малюнка да тэсту 2:
- Вугал, адзначаны як \( 92^{°} \) , знаходзіцца каля вяршыні C.
- Вугал, адзначаны як \( 126^{°} \) , знаходзіцца каля пункту M на баку AC. Гэта вугал CMB.
- Пытальнік знаходзіцца каля вугла A.
Калі M і K — сярэдзіны AC і AB, то MK — сярэдняя лінія. Гэта значыць, што MK || BC.
Разгледзім трохвугольнік ABC.
Сума вуглоў трохвугольніка: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{°} \).
Нам вядома \( \angle C = 92^{°} \).
Прымем, што \( \angle B \) — гэта вугал ABC.
Вугал CMB = \( 126^{°} \) . Вугал CMB з'яўляецца знешнім вуглом трохвугольніка ABM. Але гэта не дапамагае.
Вугал CMB з'яўляецца сумежным з вуглом AMB. \( \angle AMB = 180^{°} - 126^{°} = 54^{°} \).
У трохвугольніку AMK, MK || BC.
Калі MK || BC, то \( \angle AMK = \angle ABC \) і \( \angle AKM = \angle ACB = 92^{°} \).
Гэта памылковае меркаванне, бо \( \angle AKM \) не абавязкова роўны \( \angle ACB \).
Калі MK || BC, то \( \angle AMK = \angle ABC \) і \( \angle AKM = \angle ACB \) — гэта памылкова, бо M і K — сярэдзіны старон.
Давайце выкарыстоўваць уласцівасць сярэдняй лініі: MK || BC.
Разгледзім трохвугольнік ABC.
\( \angle C = 92^{°} \).
\( \angle CMB = 126^{°} \) . Гэта вугал у трохвугольніку BCM.
\( \angle BCM = 180^{°} - 92^{°} = 88^{°} \) (як сумежны вугал).
У трохвугольніку BCM:
\( \angle CBM + \angle BCM + \angle CMB = 180^{°} \)
\( \angle CBM + 88^{°} + 126^{°} = 180^{°} \)
\( \angle CBM + 214^{°} = 180^{°} \)
\( \angle CBM = 180^{°} - 214^{°} = -34^{°} \).
Гэта паказвае, што адзнакі на малюнку пазначаюць не вугал CMB, а нешта іншае, або малюнак недакладны.
Дапусцім, што \( 92^{°} \) — гэта вугал C, а \( 126^{°} \) — вугал BCM (калі M — кропка на AC).
Але ўмовай сказана, што M і K — сярэдзіны старон AC і AB.
На малюнку, пункты M і K пазначаны як сярэдзіны.
Разгледзім трохвугольнік ABC.
\( \angle C = 92^{°} \).
\( \angle B = ? \).
\( \angle A = ? \).
\( \angle B + \angle C = \angle AMB \) (як знешні вугал трохвугольніка AMC).
\( \angle AMB = 180^{°} - 126^{°} = 54^{°} \) (як сумежны вугал).
\( \angle B + 92^{°} = 54^{°} \).
\( \angle B = 54^{°} - 92^{°} = -38^{°} \).
Гэта таксама памылкова.
Дапусцім, што \( 126^{°} \) — гэта вугал ABM.
\( \angle ABC = 126^{°} \).
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{°} \)
\( \angle A + 126^{°} + 92^{°} = 180^{°} \)
\( \angle A + 218^{°} = 180^{°} \)
\( \angle A = 180^{°} - 218^{°} = -38^{°} \).
Таксама памылкова.
Дапусцім, што \( 126^{°} \) — гэта вугал ACB.
\( \angle C = 126^{°} \).
\( \angle A + \angle B + 126^{°} = 180^{°} \).
\( \angle A + \angle B = 54^{°} \).
Але паказана, што \( 92^{°} \) — гэта вугал C.
Згодна з уласцівасцю сярэдняй лініі, MK || BC.
Такім чынам, \( \angle AMK = \angle ABC \) і \( \angle AKM = \angle ACB = 92^{°} \) (як адпаведныя вуглы пры паралельных прамых MK і BC і папярочнай AB).
Гэта памылкова. MK || BC, таму \( \angle AKM \) не роўны \( \angle ACB \).
Калі MK || BC, то \( \angle AMK = \angle ABC \) і \( \angle AKM = \angle ACB \) — гэта памылкова.
Правільна: MK || BC, таму \( \angle AMK = \angle ABC \) і \( \angle AKM = \angle ACB \) — гэта памылкова.
MK || BC.
\( \angle AKM \) і \( \angle ACB = 92^{°} \) — не звязаны.
\( \angle AKM \) і \( \angle ABC \) — не звязаны.
\( \angle AMK = \angle ABC \) і \( \angle AKM = \angle ACB \) — гэта памылкова.
MK || BC.
\( \angle AMK = \angle ABC \) і \( \angle AKM = \angle ACB \) — гэта памылкова.
MK || BC.
\( \angle AKM = \angle ACB = 92^{°} \) (як адпаведныя вуглы).
\( \angle AMK = \angle ABC \) (як адпаведныя вуглы).
У трохвугольніку AKM:
\( \angle A + \angle AKM + \angle AMK = 180^{°} \).
\( \angle A + 92^{°} + \angle ABC = 180^{°} \).
\( \angle A + \angle ABC = 180^{°} - 92^{°} = 88^{°} \).
У трохвугольніку ABC:
\( \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{°} \).
\( \angle A + \angle ABC + 92^{°} = 180^{°} \).
\( \angle A + \angle ABC = 180^{°} - 92^{°} = 88^{°} \).
Гэтае раўнанне супадае, але не дае магчымасці знайсці \( \angle A \).
Звярнем увагу на вугал \( 126^{°} \).
Калі \( 126^{°} \) — гэта вугал BKC, то...
Калі \( 126^{°} \) — гэта вугал AMB, то \( \angle AMB = 180^{°} - 126^{°} = 54^{°} \).
У трохвугольніку AMB:
\( \angle A + \angle ABM + \angle AMB = 180^{°} \).
\( \angle A + \angle B + 54^{°} = 180^{°} \).
\( \angle A + \angle B = 126^{°} \).
Але мы ведаем, што \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{°} \) і \( \angle C = 92^{°} \).
\( \angle A + \angle B = 180^{°} - 92^{°} = 88^{°} \).
Атрымалі супярэчнасць: \( 126^{°} \) і \( 88^{°} \).
Значыць, \( 126^{°} \) — не вугал AMB.
Дапусцім, што \( 126^{°} \) — гэта вугал AKB.
\( \angle AKB = 126^{°} \).
\( \angle AKC = 180^{°} - 126^{°} = 54^{°} \).
Таксама не дапамагае.
З прыведзенай выявы, вугал \( 126^{°} \) пазначаны як вугал, утвораны сярэдняй лініяй MK і бакам BC.
Гэта значыць, што \( \angle KMC = 126^{°} \).
Але MK || BC, таму \( \angle KMC \) і \( \angle MCB \) — унутранныя аднабаковыя вуглы.
\( \angle KMC + \angle MCB = 180^{°} \).
\( 126^{°} + 92^{°} = 218^{°} \).
Гэта таксама памылкова.
Зноў разгледзім малюнак.
Вугал \( 92^{°} \) — гэта \( \angle C \).
Вугал \( 126^{°} \) — гэта вугал, утвораны сярэдняй лініяй MK і прамой AC.
Гэта значыць, што \( \angle AMK = 126^{°} \).
Але MK || BC, таму \( \angle AMK = \angle ABC \) (як адпаведныя вуглы).
\( \angle ABC = 126^{°} \).
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{°} \).
\( \angle A + 126^{°} + 92^{°} = 180^{°} \).
\( \angle A + 218^{°} = 180^{°} \).
\( \angle A = -38^{°} \).
Гэта памылкова.
Дапусцім, што \( 126^{°} \) — гэта вугал, утвораны сярэдняй лініяй MK і прамой AB.
Гэта значыць, што \( \angle AKM = 126^{°} \).
Але MK || BC, таму \( \angle AKM = \angle ACB \) (як адпаведныя вуглы).
\( \angle ACB = 126^{°} \).
Але паказана, што \( \angle C = 92^{°} \).
Гэта таксама памылкова.
Згодна з тым, як пазначаны вуглы на малюнку, \( 126^{°} \) — гэта вугал, утвораны сярэдняй лініяй MK і працягам баку BC.
Разгледзім трохвугольнік ABC. M і K — сярэдзіны AC і AB.
MK || BC.
\( \angle C = 92^{°} \).
\( \angle AMK = 126^{°} \) — гэты вугал не звязаны з трохвугольнікам.
Разгледзім трохвугольнік BCM. \( \angle C = 92^{°} \).
\( \angle B + \angle C = \angle AMB \) (знешні вугал трохвугольніка BCM).
\( \angle AMB = 180^{°} - 126^{°} = 54^{°} \).
\( \angle B + 92^{°} = 54^{°} \).
\( \angle B = 54^{°} - 92^{°} = -38^{°} \).
Гэта памылка.
Дапусцім, што \( 126^{°} \) — гэта вугал, утвораны сярэдняй лініяй MK і прамым AC, калі працягнуць MK.
MK || BC.
\( \angle AKM = 126^{°} \).
\( \angle AKM \) і \( \angle ABC \) — адпаведныя вуглы.
\( \angle ABC = 126^{°} \).
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{°} \).
\( \angle A + 126^{°} + 92^{°} = 180^{°} \).
\( \angle A = -38^{°} \).
Самае верагоднае тлумачэнне пазначэння \( 126^{°} \) — гэта вугал, які ўтвараецца сярэдняй лініяй MK і прамым AC, калі працягнуць AC.
\( \angle MKB = 126^{°} \).
MK || BC.
\( \angle AKM \) і \( \angle ABC \) — адпаведныя вуглы.
\( \angle AKM \) і \( \angle ACB = 92^{°} \) — не звязаны.
\( \angle KMC \) і \( \angle MCB = 92^{°} \) — не звязаны.
\( \angle MKC = 126^{°} \) — вельмі малаверагодна.
Калі MK || BC, то \( \angle AMK = \angle ABC \) і \( \angle AKM = \angle ACB = 92^{°} \).
Але гэта пры ўмове, што AMK і ABC — адпаведныя вуглы, а AKM і ACB — адпаведныя вуглы.
З малюнка, \( 126^{°} \) — гэта вугал, утвораны працягам баку AC і сярэдняй лініяй MK.
\( \angle CMK = 126^{°} \).
\( \angle CMK \) і \( \angle MCB \) — унутранныя аднабаковыя вуглы.
\( \angle CMK + \angle MCB = 180^{°} \).
\( 126^{°} + 92^{°} = 218^{°} \).
Гэта няслушна.
Калі \( 126^{°} \) — гэта вугал, утвораны сярэдняй лініяй MK і прамым AB.
\( \angle BKM = 126^{°} \).
MK || BC.
\( \angle BKM \) і \( \angle CBK \) — унутранныя аднабаковыя вуглы.
\( \angle BKM + \angle ABC = 180^{°} \).
\( 126^{°} + \angle ABC = 180^{°} \).
\( \angle ABC = 180^{°} - 126^{°} = 54^{°} \).
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{°} \).
\( \angle A + 54^{°} + 92^{°} = 180^{°} \).
\( \angle A + 146^{°} = 180^{°} \).
\( \angle A = 180^{°} - 146^{°} = 34^{°} \).
Гэта адпавядае логіцы.
Правіла: Калі M і K — сярэдзіны бакоў AC і AB трохвугольніка ABC, то MK — сярэдняя лінія. MK || BC.
Рашэнне:
- Па ўмове, M і K — сярэдзіны старон AC і AB трохвугольніка ABC.
- MK — сярэдняя лінія трохвугольніка ABC.
- Тады MK || BC.
- Разгледзім вугал \( \angle BKM = 126^{°} \). Гэта вугал, утвораны сярэдняй лініяй MK і бакам AB.
- Паколькі MK || BC, то вуглы \( \angle BKM \) і \( \angle ABC \) з'яўляюцца ўнутраннымі аднабаковымі пры паралельных прамых MK і BC і папярочнай AB.
- Сума ўнутранных аднабаковых вуглоў роўная \( 180^{°} \): \( \angle BKM + \angle ABC = 180^{°} \).
- \( 126^{°} + \angle ABC = 180^{°} \).
- \( \angle ABC = 180^{°} - 126^{°} = 54^{°} \).
- У трохвугольніку ABC сума вуглоў роўная \( 180^{°} \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{°} \).
- Па ўмове \( \angle C = 92^{°} \), і мы вылічылі \( \angle B = 54^{°} \).
- \( \angle A + 54^{°} + 92^{°} = 180^{°} \).
- \( \angle A + 146^{°} = 180^{°} \).
- \( \angle A = 180^{°} - 146^{°} = 34^{°} \).
Адказ: \( \angle A = 34^{°} \).
