Тест 3. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые Вариант 2 А1. Один из смежных углов равен 65°. Чему равна градусная мера другого угла? А2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 102°. Чему равны градусные меры остальных углов? АЗ. Смежные углы относятся как 2: 3. Чему равна градусная мера большего из этих углов? А4. Один из смежных углов составляет 0,8 другого. Найдите эти углы. В1. Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 78°. Найдите величину большего угла. В2. Восьмая часть одного из смежных углов и три четверти другого составляют в сумме прямой угол. Найдите разность данных углов. С1. Сумма вертикальных углов на 30° меньше угла, смежного с каждым из них. Найдите эти вертикальные углы. С2. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 280° больше четвертого угла. Найдите эти четыре угла.

Тест 3. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые. Вариант 2

А1. Если один из смежных углов равен \( 65^{\circ} \), то другой равен \( 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \).

Ответ: 2) 115°

А2. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Если один из углов равен \( 102^{\circ} \), то вертикальный ему угол тоже \( 102^{\circ} \). Смежные с ним углы равны \( 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \). Всего образуется два угла по \( 102^{\circ} \) и два угла по \( 78^{\circ} \).

Ответ: 3) 78°, 102°, 102°

АЗ. Пусть один угол равен \( 2x \), тогда другой равен \( 3x \). Так как углы смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( 2x + 3x = 180^{\circ} \)

\( 5x = 180^{\circ} \)

\( x = 36^{\circ} \)

Больший угол равен \( 3x = 3 \times 36^{\circ} = 108^{\circ} \).

Ответ: 3) 108°

А4. Пусть один угол равен \( x \), тогда другой равен \( 0,8x \). Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\( x + 0,8x = 180^{\circ} \)

\( 1,8x = 180^{\circ} \)

\( x = 100^{\circ} \)

Другой угол равен \( 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).

Ответ: 2) 80° и 100°

В1. При пересечении двух прямых образуются четыре угла: два вертикальных и два смежных. Сумма всех четырех углов равна \( 360^{\circ} \). Вертикальные углы равны. Пусть углы равны \( α \) и \( β \). Тогда \( 2α + 2β = 360^{\circ} \). Сумма двух углов равна \( 78^{\circ} \). Возможны два случая: 1) два смежных угла; 2) два вертикальных угла. Так как \( 78^{\circ} < 180^{\circ} \), это два смежных угла. \( α + β = 78^{\circ} \). Но сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, может быть суммой двух смежных углов \( (α + β = 180^{\circ}) \) или суммой двух вертикальных углов \( (2α) \) или суммой смежного и вертикального \( (α + β) \). В задании сказано «два угла». Если это два вертикальных угла, то \( 2α = 78^{\circ} \), \( α = 39^{\circ} \). Тогда смежные углы \( 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ} \). Больший угол 141°. Если это два смежных угла, то \( α + β = 78^{\circ} \). Но сумма смежных углов \( 180^{\circ} \). Значит, это не два смежных угла. Если это угол и его смежный, то \( α + β = 180^{\circ} \). Если два угла, образовавшихся при пересечении двух прямых, в сумме дают \( 78^{\circ} \), это могут быть два вертикальных угла. \( 2α = 78^{\circ} \) \( α = 39^{\circ} \). Тогда смежный угол \( 180 - 39 = 141^{\circ} \). Больший угол \( 141^{\circ} \). Или это может быть один угол \( α \) и один из двух других углов. Если \( α = 39^{\circ} \), то \( β = 141^{\circ} \). Сумма \( α + β = 180^{\circ} \). Если \( α + α = 78^{\circ} \), то \( α = 39^{\circ} \). Тогда \( β = 180 - 39 = 141^{\circ} \). Больший угол 141°. Если \( α + β = 78^{\circ} \), то это невозможно, так как \( α + β = 180^{\circ} \). Если \( α \) и \( β \) — два угла, образовавшиеся при пересечении двух прямых, то \( α = β \) (вертикальные) или \( α + β = 180^{\circ} \) (смежные). Если \( 2α = 78^{\circ} \), то \( α = 39^{\circ} \). Тогда \( β = 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ} \). Больший угол \( 141^{\circ} \).

Ответ: 141°

В2. Пусть смежные углы равны \( x \) и \( y \). Тогда \( x + y = 180^{\circ} \). По условию \( \frac{1}{8}x + \frac{3}{4}y = 90^{\circ} \). Из первого уравнения \( y = 180^{\circ} - x \). Подставляем во второе: \( \frac{1}{8}x + \frac{3}{4}(180^{\circ} - x) = 90^{\circ} \) \( \frac{1}{8}x + 135^{\circ} - \frac{3}{4}x = 90^{\circ} \) \( x(\frac{1}{8} - \frac{3}{4}) = 90 - 135^{\circ} \) \( x(\frac{1 - 6}{8}) = -45^{\circ} \) \( x(-\frac{5}{8}) = -45^{\circ} \) \( x = 45^{\circ} \times \frac{8}{5} = 9^{\circ} \times 8 = 72^{\circ} \). Тогда \( y = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \). Разность углов \( |108^{\circ} - 72^{\circ}| = 36^{\circ} \).

Ответ: 36°

С1. Пусть вертикальные углы равны \( α \), а смежные с ними равны \( β \). Тогда \( β = 180^{\circ} - α \). По условию \( 2α = β - 30^{\circ} \). Подставляем \( β \): \( 2α = (180^{\circ} - α) - 30^{\circ} \) \( 2α = 150^{\circ} - α \) \( 3α = 150^{\circ} \) \( α = 50^{\circ} \). Вертикальные углы равны \( 50^{\circ} \).

Ответ: 50°

С2. При пересечении двух прямых образуются четыре угла: \( α \), \( β \), \( α \), \( β \), где \( α + β = 180^{\circ} \). Сумма трех углов равна \( 2α + β \) или \( α + 2β \). Пусть сумма трех углов равна \( 2α + β \). Тогда \( 2α + β = β + 280^{\circ} \) \( 2α = 280^{\circ} \) \( α = 140^{\circ} \). Тогда \( β = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \). Углы: \( 140^{\circ}, 40^{\circ}, 140^{\circ}, 40^{\circ} \). Сумма трех углов: \( 140 + 40 + 140 = 320^{\circ} \). Четвертый угол \( 40^{\circ} \). \( 320 = 40 + 280 \). Верно. Если сумма трех углов равна \( α + 2β \). Тогда \( α + 2β = β + 280^{\circ} \) \( α + β = 280^{\circ} \). Но \( α + β = 180^{\circ} \). Противоречие. Значит, углы \( 140^{\circ}, 40^{\circ}, 140^{\circ}, 40^{\circ} \).

Ответ: 140°, 40°, 140°, 40°