Тест по теме «Векторы. Метод координат». Вариант 1. 1. Направленный отрезок (вектор) — это… а) отрезок, имеющий начало и конец; б) отрезок, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом; в) прямая, для которой определено направление; г) нет правильного ответа. 2. Коллинеарные векторы — это… а) векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; б) векторы, не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; в) ненулевые векторы, не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; г) ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. 3. Противоположно направленные векторы — это… а) векторы, направленные в одну сторону; б) ненулевые векторы, направленные в разные стороны; в) ненулевые коллинеарные векторы, направленные в одну сторону; г) ненулевые коллинеарные векторы, направленные в разные стороны. 4. Каковы координаты вектора a = 7i − j? 5. Определите координаты вектора a + b, если a{−1; 4} и b{3; 5}. 6. Разложите вектор MN{−6; 11} по координатным векторам i и j. 7. Векторы a и b не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству ya + b = −9a + xb. 8. Найдите координаты вектора MN, зная координаты его начала и конца: M(−2; 7), N(1; 4). 9. Найдите длину вектора r{−4; 5}. 10. Каково расстояние между точками M и N, если M(2; 7) и N(−2; 7)? 11. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: (AB − DB) − (EC + CD). 12. Найдите координаты вектора n, если n = 2a − 5b, a{1; −6} и b{−2; 4}. 13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A(2; 3), B(3; 9) и C(4; −5).

1. б) У направленного отрезка указаны начало и конец.
2. г) Коллинеарные ненулевые векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
3. г) Противоположно направленные векторы ненулевые, коллинеарные и направлены в разные стороны.
4. Координаты при i и j дают (7; −1).
5. Складываем соответствующие координаты:

   \(\vec a+\vec b=(-1+3;\ 4+5)=(2;9)\).

6. Координаты вектора являются коэффициентами разложения:

   \(\overrightarrow{MN}=-6\vec i+11\vec j\).

7. Так как \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю:

   \((y+9)\vec a+(1-x)\vec b=\vec0\), откуда \(y=-9\), \(x=1\).

8. Вычитаем координаты начала из координат конца:

   \(\overrightarrow{MN}=(1-(-2);\ 4-7)=(3;-3)\).

9. Длина по формуле модуля:

   \(|\vec r|=\sqrt{(-4)^2+5^2}=\sqrt{41}\).

10. Расстояние между точками:

    \(MN=\sqrt{(-2-2)^2+(7-7)^2}=4\).

11. По правилу многоугольника:

    \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\),

    \(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{ED}\). Тогда \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\).

12. Вычисляем по координатам:

    \(\vec n=(2;-12)-(-10;20)=(12;-32)\).

13. Для параллелограмма \(\vec A+\vec C=\vec B+\vec D\), поэтому

    \(D=A+C-B=(2+4-3;\ 3+(-5)-9)=(3;-11)\).

Ответ: 1) б; 2) г; 3) г; 4) (7; −1); 5) (2; 9); 6) −6i + 11j; 7) x = 1, y = −9; 8) (3; −3); 9) √41; 10) 4; 11) AE; 12) (12; −32); 13) D(3; −11).