Тест по теме «Векторы. Метод координат». Вариант 2. 1. Модуль ненулевого вектора AB — это… а) длина отрезка AB; б) коэффициент разложения вектора AB; в) направление вектора AB; г) направление отрезка AB. 2. Сонаправленные векторы — это… а) векторы, направленные в одну сторону; б) ненулевые векторы, направленные в одну сторону; в) ненулевые коллинеарные векторы, направленные в одну сторону; г) ненулевые коллинеарные векторы, направленные в разные стороны. 3. Равные векторы — это… а) векторы, длины которых равны; б) сонаправленные векторы, длины которых равны; в) противоположно направленные векторы, длины которых равны; г) коллинеарные векторы, длины которых равны. 4. Каковы координаты вектора c = i − 5j? 5. Определите координаты вектора d + b, если d{3; −4} и b{1; 7}. 6. Разложите вектор AB{2; −9} по координатным векторам i и j. 7. Векторы a и b не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству 5a + xb = ya − 2b. 8. Найдите координаты вектора AD, зная координаты его начала и конца: A(8; −1), D(11; 6). 9. Найдите длину вектора r{3; −4}. 10. Каково расстояние между точками A и B, если A(−3; 1) и B(−3; 8)? 11. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение: (OP − RP) + (MN − ON). 12. Найдите координаты вектора m, если m = 3a − 2b, a{−3; 4} и b{1; 7}. 13. Найдите координаты вершины A параллелограмма ABCD, если B(3; 7), C(−2; 4) и D(−5; 3).

1. а) Модуль вектора равен длине соответствующего отрезка.
2. в) Сонаправленные векторы ненулевые, коллинеарные и направлены в одну сторону.
3. б) Равные векторы сонаправлены и имеют равные длины.
4. Координаты при \(\vec i\) и \(\vec j\): (1; −5).
5. Складываем координаты:

   \(\vec d+\vec b=(3+1;\ -4+7)=(4;3)\).

6. Координаты являются коэффициентами разложения:

   \(\overrightarrow{AB}=2\vec i-9\vec j\).

7. Переносим слагаемые с одинаковыми векторами:

   \((5-y)\vec a+(x+2)\vec b=\vec0\). Поскольку векторы неколлинеарны, \(5-y=0\), \(x+2=0\). Значит, \(y=5\), \(x=-2\).

8. Вычитаем координаты начала из координат конца:

   \(\overrightarrow{AD}=(11-8;\ 6-(-1))=(3;7)\).

9. Модуль вектора:

   \(|\vec r|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5\).

10. Расстояние между точками:

    \(AB=\sqrt{(-3-(-3))^2+(8-1)^2}=7\).

11. По правилу многоугольника:

    \(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}\),

    \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{MO}\). Тогда \(\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MR}\).

12. Вычисляем покоординатно:

    \(\vec m=3(-3;4)-2(1;7)=(-9;12)-(2;14)=(-11;-2)\).

13. Для параллелограмма \(A+C=B+D\), поэтому

    \(A=B+D-C=(3+(-5)-(-2);\ 7+3-4)=(0;6)\).

Ответ: 1) а; 2) в; 3) б; 4) (1; −5); 5) (4; 3); 6) 2i − 9j; 7) x = −2, y = 5; 8) (3; 7); 9) 5; 10) 7; 11) MR; 12) (−11; −2); 13) A(0; 6).