Тестовая работа №4 по теме: "Неравенства и системы неравенств". Вариант 1 Часть 1 1. Известно, что а> b.Какое из приведенных ниже неравенств следует из этого неравенства: 1)a - b < 0; 2)b - a > 0; 3)a - b < -5; 4)b - a < 5. 2. Решите неравенство: 5х- 8≥-3x Ответ: 3. Какое из следующих решений неравенства 4(x-3) ≤ 7x + 6 верно: 1) (-∞; -6); 2) [6;+∞); 3) [-6;+∞); 4. Решите систему неравенств: 5x+1>0. Ответ (x-1>3x-6 4) (-∞; 6]. 5. Решите неравенства (№5- №7): x² < 7x + 18. Ответ: x-10 6. <0. x-8 Ответ: 7. 0,5x + 9≥-3(x-1,5). Ответ: 8. Сопоставьте неравенства и множества их решений: Неравенства: A)x² - 2,5x + 1 ≤ 0; Б)(2х-1)(2-x)> 0; B)(2x-1)(3x-6) > 0 Решения: 1) (-∞; 0,5)U (2;+∞); 2)(0,5; 2); 3)(-∞; 0,5]U[2; +∞); 4)[1; 2] Ответ: А Б ,B 9. Решением каких неравенств является число 4 : 1)26x-10; 2)(x-4) (2x + 4) ≥ 0; 3)x²-6x + 11 < 0.

Задание 1:

Известно, что a > b. Какое из приведенных ниже неравенств следует из этого неравенства?

1) a - b < 0; 2) b - a > 0; 3) a - b < -5; 4) b - a < 5.

Решение:

Так как a > b, то разность a - b будет положительной, а b - a - отрицательной. Следовательно, b - a < 0. Но такого варианта нет. Умножим обе части неравенства b - a < 0 на -1, получим a - b > 0. Следовательно, b - a < 5 является верным, так как любое отрицательное число меньше 5.

Ответ: 4) b - a < 5

Задание 2:

Решите неравенство: 5x - 8 ≥ -3x

Решение:

Перенесем -3x в левую часть, а -8 в правую:

5x + 3x ≥ 8

8x ≥ 8

x ≥ 1

Ответ: [1; +∞)

Задание 3:

Какое из следующих решений неравенства 4(x - 3) ≤ 7x + 6 верно:

1) (-∞; -6); 2) [6; +∞); 3) [-6; +∞); 4) (-∞; 6].

Решение:

4(x - 3) ≤ 7x + 6

4x - 12 ≤ 7x + 6

4x - 7x ≤ 6 + 12

-3x ≤ 18

x ≥ -6

Ответ: 3) [-6; +∞)

Задание 4:

Решите систему неравенств:

\[\begin{cases}x - 1 > 3x - 6 \\ 5x + 1 > 0\end{cases}\]

Решение:

Решим первое неравенство:

x - 1 > 3x - 6

x - 3x > -6 + 1

-2x > -5

x < 2.5

Решим второе неравенство:

5x + 1 > 0

5x > -1

x > -0.2

Объединим решения:

-0.2 < x < 2.5

Ответ: (-0.2; 2.5)

Задание 5:

Решите неравенство: x² < 7x + 18

Решение:

x² - 7x - 18 < 0

Найдем корни квадратного уравнения x² - 7x - 18 = 0

D = (-7)² - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121

x₁ = (7 + √121) / 2 = (7 + 11) / 2 = 9

x₂ = (7 - √121) / 2 = (7 - 11) / 2 = -2

Решением неравенства будет интервал между корнями:

-2 < x < 9

Ответ: (-2; 9)

Задание 6:

Решите неравенство: (x - 10) / (x - 8) < 0

Решение:

Неравенство решается методом интервалов.

Найдем нули числителя и знаменателя:

x - 10 = 0 => x = 10

x - 8 = 0 => x = 8

Отметим точки 8 и 10 на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

\[\begin{array}{cccc} (-\infty, 8) & (8, 10) & (10, +\infty) \\ - & + & - \end{array}\]

Выбираем интервал, где функция отрицательна. x ∈ (8; 10)

Ответ: (8; 10)

Задание 7:

Решите неравенство: 0,5x + 9 ≥ -3(x - 1,5)

Решение:

0. 5x + 9 ≥ -3x + 4.5

0. 5x + 3x ≥ 4.5 - 9

3. 5x ≥ -4.5

x ≥ -4.5 / 3.5

x ≥ -9/7

Ответ: [-9/7; +∞)

Задание 8:

Сопоставьте неравенства и множества их решений:

Неравенства:

A) x² - 2,5x + 1 ≤ 0; Б) (2x - 1)(2 - x) > 0; B) (2x - 1)(3x - 6) > 0

Решения:

1) (-∞; 0,5) ∪ (2; +∞); 2) (0,5; 2); 3) (-∞; 0,5] ∪ [2; +∞); 4) [1; 2]

Решение:

A) x² - 2,5x + 1 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения x² - 2,5x + 1 = 0

D = (-2,5)² - 4 * 1 * 1 = 6,25 - 4 = 2,25

x₁ = (2,5 + √2,25) / 2 = (2,5 + 1,5) / 2 = 2

x₂ = (2,5 - √2,25) / 2 = (2,5 - 1,5) / 2 = 0,5

Решением неравенства будет отрезок между корнями: [0,5; 2] => 4

Б) (2x - 1)(2 - x) > 0

Найдем нули:

2x - 1 = 0 => x = 0,5

2 - x = 0 => x = 2

Так как (2x - 1) > 0 при x > 0,5 и (2 - x) > 0 при x < 2, то решением будет интервал (0,5; 2) => 2

B) (2x - 1)(3x - 6) > 0

Найдем нули:

2x - 1 = 0 => x = 0,5

3x - 6 = 0 => x = 2

Так как (2x - 1) > 0 при x > 0,5 и (3x - 6) > 0 при x > 2, то решением будет объединение интервалов (-∞; 0,5) ∪ (2; +∞) => 1

Ответ: А - 4, Б - 2, В - 1

Задание 9:

Решением каких неравенств является число 4:

1) 2 - 6x < -10; 2) (x - 4)(2x + 4) ≥ 0; 3) x² - 6x + 11 < 0.

Решение:

Проверим первое неравенство:

2 - 6 * 4 < -10

2 - 24 < -10

-22 < -10 (верно)

Проверим второе неравенство:

(4 - 4)(2 * 4 + 4) ≥ 0

0 * 12 ≥ 0

0 ≥ 0 (верно)

Проверим третье неравенство:

4² - 6 * 4 + 11 < 0

16 - 24 + 11 < 0

3 < 0 (неверно)

Ответ: 1 и 2