Тестовые вопросы к разделу 10. Решите неравенство: log3x + log3 (x - 2) ≤ 1

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства, воспользуемся свойствами логарифмов и определением области допустимых значений (ОДЗ).

1. ОДЗ:
   Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
   \( x > 0 \)
   \( x - 2 > 0 \) ⇒ \( x > 2 \)
   Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > 2 \).
2. Сложение логарифмов:
   Используем свойство \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).
   \( \log_3(x) + \log_3(x - 2) \le 1 \)
   \( \log_3(x(x - 2)) \le 1 \)
3. Преобразование неравенства:
   Представим правую часть в виде логарифма по основанию 3: \( 1 = \log_3 3 \).
   \( \log_3(x^2 - 2x) \le \log_3 3 \)
4. Снятие логарифмов:
   Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется.
   \( x^2 - 2x \le 3 \)
5. Решение квадратного неравенства:
   Перенесём всё в одну сторону:
   \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \)
   Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта или теоремы Виета.
   \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \)
   \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
   \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
   Парабола \( y = x^2 - 2x - 3 \) ветвями вверх. Неравенство \( \le 0 \) выполняется между корнями, то есть \( -1 \le x \le 3 \).
6. Объединение с ОДЗ:
   Учитывая ОДЗ \( x > 2 \), мы должны найти пересечение интервалов \( (-1; 3] \) и \( (2; \infty) \).
   Пересечением будет интервал \( (2; 3] \).

Ответ: (2; 3]