Тестовые вопросы к разделу 7. Из приведенных ниже утверждений верными являются:

Решение:

Проверим каждое утверждение:

1. Утверждение а): Графики функций \( y = 7^x \) и \( y = \frac{1}{7^x} \) симметричны относительно оси ординат.
• Функция \( y = 7^x \) при \( x = 0 \) равна \( y = 1 \).
• Функция \( y = \frac{1}{7^x} = 7^{-x} \) при \( x = 0 \) равна \( y = 1 \).
• Графики симметричны относительно оси ординат, если для каждого \( x \) выполняется условие \( f(-x) = f(x) \) (для четных функций) или \( f(-x) = -f(x) \) (для нечетных функций).
• Для \( y = 7^x \) и \( y = 7^{-x} \), если подставить \( -x \) вместо \( x \), получим \( y = 7^{-(-x)} = 7^x \) и \( y = 7^{-(-x)} = 7^x \). Однако, утверждение говорит о симметрии относительно оси ординат, что означает, что если \( (x, y) \) лежит на одном графике, то \( (-x, y) \) лежит на другом.
• Рассмотрим точки: \( (1, 7) \) на \( y=7^x \) и \( (-1, 7) \) на \( y=7^{-x} \). Точки \( (1, 7) \) и \( (-1, 7) \) не являются симметричными относительно оси ординат. Ось ординат — это ось \( Oy \). Симметрия относительно оси \( Oy \) означает, что если \( (x, y) \) принадлежит графику, то \( (-x, y) \) также принадлежит графику. В данном случае, \( y=7^x \) и \( y=7^{-x} \) не удовлетворяют этому условию.
• Вывод: Утверждение а) неверно.
2. Утверждение б): Графики функций пересекают ось \( Oy \) в точке \( (0; 1) \).
• Подставим \( x = 0 \) в \( y = 7^x \): \( y = 7^0 = 1 \). Точка пересечения с \( Oy \) — \( (0; 1) \).
• Подставим \( x = 0 \) в \( y = \frac{1}{7^x} \): \( y = \frac{1}{7^0} = \frac{1}{1} = 1 \). Точка пересечения с \( Oy \) — \( (0; 1) \).
• Вывод: Утверждение б) верно.
3. Утверждение в): Графики функций симметричны относительно оси абсцисс.
• Симметрия относительно оси абсцисс (оси \( Ox \)) означает, что если \( (x, y) \) лежит на графике, то \( (x, -y) \) также лежит на графике.
• Для \( y = 7^x \), если \( y > 0 \), то \( -y < 0 \). Функция \( y=7^x \) всегда положительна.
• Для \( y = \frac{1}{7^x} \), если \( y > 0 \), то \( -y < 0 \). Функция \( y=\frac{1}{7^x} \) всегда положительна.
• Таким образом, нет точек \( (x, y) \) и \( (x, -y) \) для \( y \neq 0 \) на обоих графиках.
• Вывод: Утверждение в) неверно.
4. Утверждение г): Графики функций пересекают ось \( Ox \) в точке \( (1; 0) \).
• Ось \( Ox \) — это ось \( y=0 \).
• Для \( y = 7^x \), \( 7^x = 0 \) не имеет решений, так как \( 7^x > 0 \) для всех \( x \).
• Для \( y = \frac{1}{7^x} \), \( \frac{1}{7^x} = 0 \) не имеет решений.
• Вывод: Утверждение г) неверно.

Верными являются утверждения б).

Среди предложенных вариантов ответов, нам нужно выбрать тот, который соответствует верным утверждениям. В данном случае, только утверждение б) верно. Из предложенных вариантов ответа, ни один не указывает только на б. Рассмотрим возможные комбинации, если вопрос подразумевает выбор нескольких верных утверждений, которые в сумме образуют один вариант ответа.

Пересмотрим утверждение а): Графики функций \( y = 7^x \) и \( y = \frac{1}{7^x} = 7^{-x} \). Если \( y = f(x) \), то \( y = f(-x) \) — это симметрия относительно оси \( Oy \). В данном случае, \( f(x) = 7^x \), тогда \( f(-x) = 7^{-x} \). Значит, утверждение а) верно, если одна функция является четной функцией от другой, или если они связаны как \( f(x) \) и \( f(-x) \). Действительно, \( y = 7^{-x} \) является отражением \( y = 7^x \) относительно оси \( Oy \).

Итак, утверждения а) и б) верны.

Проверим варианты ответа:

• а и в
• в и г
• а и б
• б и г

Среди вариантов ответа есть комбинация «а и б».

Окончательный вывод: верны утверждения а) и б).

Ответ: а и б.