Тестовые вопросы к разделу 7. Произведение корней уравнения x²-21 (9/23) = (23/9) 19x-3 равно Выберите один вариант ответа 19 -18 -19 -24

Решение:

Для решения уравнения \( \left( \frac{9}{23} \right)^{x^2-21} = \left( \frac{23}{9} \right)^{19x-3} \) приведём основания степеней к одному виду. Заметим, что \( \frac{23}{9} = \left( \frac{9}{23} \right)^{-1} \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ \left( \frac{9}{23} \right)^{x^2-21} = \left( \left( \frac{9}{23} \right)^{-1} \right)^{19x-3} \]\[ \left( \frac{9}{23} \right)^{x^2-21} = \left( \frac{9}{23} \right)^{-(19x-3)} \]\[ \left( \frac{9}{23} \right)^{x^2-21} = \left( \frac{9}{23} \right)^{-19x+3} \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ x^2 - 21 = -19x + 3 \]

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 19x - 21 - 3 = 0 \]\[ x^2 + 19x - 24 = 0 \]

Произведение корней этого квадратного уравнения (по теореме Виета) равно свободному члену, делённому на старший коэффициент, то есть \( c/a \).

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 19 \), \( c = -24 \).

Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = \frac{-24}{1} = -24 \).

Ответ: -24