Тестовые вопросы к разделу 8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке.

Решение:

На рисунке изображен график квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) и закрашена площадь под графиком между значениями \( x \) от 1 до 2. По виду параболы видно, что она симметрична относительно оси \( y \), т.е. \( b = 0 \). Вершина параболы находится в точке \( (0, 0) \). Таким образом, функция имеет вид \( y = ax^2 \).

Также видно, что график проходит через точку \( (2, 4) \) (если предположить, что сетка соответствует единичным интервалам).

Подставим точку \( (2, 4) \) в уравнение \( y = ax^2 \):

\( 4 = a \cdot 2^2 \)

\( 4 = 4a \)

\( a = 1 \)

Следовательно, уравнение параболы: \( y = x^2 \).

Найдем площадь фигуры, используя определенный интеграл:

\[ S = \int_{1}^{2} x^2 dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{7}{3} \).