Тестовые вопросы к разделу 8. Вычислите интеграл ∫(16dx)/x^3 от 1 до 2. Выберите один вариант ответа.

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{1}^{2} \frac{16}{x^3} dx \), сначала найдём первообразную функции \( f(x) = \frac{16}{x^3} \).

Представим \( \frac{16}{x^3} \) как \( 16x^{-3} \).

Первообразная \( F(x) \) находится по формуле \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

\( F(x) = \int 16x^{-3} dx = 16 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = 16 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -8x^{-2} + C = -\frac{8}{x^2} + C \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_{1}^{2} \frac{16}{x^3} dx = \left[ -\frac{8}{x^2} \right]_{1}^{2} = \left( -\frac{8}{2^2} \right) - \left( -\frac{8}{1^2} \right) \).

\( = \left( -\frac{8}{4} \right) - \left( -8 \right) = -2 - (-8) = -2 + 8 = 6 \).

Таким образом, значение интеграла равно 6.

Ответ: 6