Тестовые вопросы к разделу 8. Вычислите интеграл \(\int_{1}^{2} \frac{24}{x^2} dx\). Выберите один вариант ответа: 8, 12, -7, 9.

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{1}^{2} \frac{24}{x^2} dx \) сначала найдём первообразную функции \( f(x) = \frac{24}{x^2} \).

Первообразная \( F(x) \) находится как:

\[ F(x) = \int \frac{24}{x^2} dx = 24 \int x^{-2} dx \]

Используя правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (где \( n \neq -1 \)), получаем:

\[ F(x) = 24 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 24 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -24x^{-1} = -\frac{24}{x} \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \):

\[ \int_{1}^{2} \frac{24}{x^2} dx = F(2) - F(1) = \left(-\frac{24}{2}\right) - \left(-\frac{24}{1}\right) \]

Вычисляем значения:

\[ -\frac{24}{2} = -12 \] \[ -\frac{24}{1} = -24 \]

Подставляем значения:

\[ -12 - (-24) = -12 + 24 = 12 \]

Таким образом, значение интеграла равно 12.

Ответ: 12