Тетраэдр OABC имеет все плоские углы при вершине O прямые. Вычислите площадь полной поверхности тетраэдра, если OA = 5, OB = 5, OC = 8.

Пошаговое решение:

• Площадь грани OAB равна половине произведения OA и OB, так как угол между ними прямой:

\[S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12.5\]

• Аналогично, площадь грани OAC равна:

\[S_{OAC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20\]

• И площадь грани OBC равна:

\[S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20\]

• Теперь найдем площадь грани ABC. Так как углы при вершине O прямые, треугольник ABC является прямоугольным. Найдем длины сторон AB, AC и BC по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]\[AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}\]\[BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}\]

• Треугольник ABC – равнобедренный, AC = BC. Чтобы найти площадь, найдем высоту, опущенную из вершины C на сторону AB. Так как треугольник равнобедренный, высота является и медианой.

• Пусть M – середина AB. Тогда AM = MB = \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).

• Высоту CM найдем по теореме Пифагора из треугольника AMC:

\[CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{89 - \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{89 - \frac{50}{4}} = \sqrt{89 - 12.5} = \sqrt{76.5}\]

• Площадь грани ABC равна:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{76.5} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{153} \approx 30.92\]

• Площадь полной поверхности тетраэдра равна сумме площадей всех его граней:

\[S_{полн} = S_{OAB} + S_{OAC} + S_{OBC} + S_{ABC} = 12.5 + 20 + 20 + 30.92 = 83.42\]

Ответ: 83.42