Text in the image: sum of (i*Pi/n!)^n and Pi+e=?

Решение:

Рассмотрим ряд:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\pi)^n}{n!} \]

Это разложение экспоненты в ряд Тейлора:

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

В нашем случае, \(x = i\pi\), следовательно:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\pi)^n}{n!} = e^{i\pi} \]

Используя формулу Эйлера, получаем:

\[e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1\]

Таким образом:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\pi)^n}{n!} = -1\]

Ответ: \[e^{i\pi}\]