3) 4tg²x − tgx − 3 = 0;

Решаем тригонометрическое уравнение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вводим замену

   Пусть \( t = tg(x) \). Тогда уравнение принимает вид: \[ 4t^2 - t - 3 = 0 \]

2. Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

   Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае: \( a = 4 \), \( b = -1 \), \( c = -3 \). \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \] \[ t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1 \] \[ t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \]

3. Шаг 3: Находим значения x

   Теперь нужно найти значения x, для которых \( tg(x) = 1 \) и \( tg(x) = -\frac{3}{4} \).
   • Если \( tg(x) = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   • Если \( tg(x) = -\frac{3}{4} \), то \( x = arctg(-\frac{3}{4}) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Так как арктангенс — нечетная функция, можно записать \( x = -arctg(\frac{3}{4}) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( x = -arctg(\frac{3}{4}) + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).