(tgα + ctgα)(1-cos4α) = 4sin2α

Выражение на доске представляет собой тригонометрическое уравнение или тождество. Для его решения или доказательства необходимо применить тригонометрические формулы и упрощения.

Предположим, что требуется доказать данное тождество. Вот один из возможных способов решения:

1. Преобразование левой части:
1. Выразим tgα и ctgα через sinα и cosα:

$$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

2. Подставим в левую часть уравнения:

$$(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha})(1 - \cos 4\alpha) = (\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha})(1 - \cos 4\alpha)$$

3. Упростим, используя основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1:

$$(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha})(1 - \cos 4\alpha)$$

4. Используем формулу двойного угла: sin 2α = 2sin α cos α

$$(\frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha})(1 - \cos 4\alpha) = \frac{2}{\sin 2\alpha}(1 - \cos 4\alpha)$$

5. Применим формулу понижения степени: 1 - cos 4α = 2sin²(2α)

$$\frac{2}{\sin 2\alpha} (2 \sin^2 2\alpha) = 4 \sin 2\alpha$$

6. Сравнение с правой частью:
7. Мы получили, что левая часть равна:

$$4 \sin 2\alpha$$

7. Что соответствует правой части исходного уравнения.

Таким образом, исходное тождество доказано.

Ответ: Уравнение (tgα + ctgα)(1-cos4α) = 4sin2α является тригонометрическим тождеством.