The circle in the figure is inscribed in the triangle ABC. |AK| = x + 5 cm, |BM| = 2x + 3 cm, |CL| = 2x + 5 cm, and the perimeter of triangle ABC is 46 cm. Find |MC|.

Решение:

Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника как K на AB, M на BC, и L на AC.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны, то есть:

• AK = AL = x + 5
• BM = BK = 2x + 3
• CL = CM = 2x + 5

Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон:

P = AB + BC + AC = 46 см

Выразим стороны треугольника через отрезки:

• AB = AK + KB = x + 5 + 2x + 3 = 3x + 8
• BC = BM + MC = 2x + 3 + 2x + 5 = 4x + 8
• AC = AL + LC = x + 5 + 2x + 5 = 3x + 10

Подставим выражения для сторон в формулу периметра:

3x + 8 + 4x + 8 + 3x + 10 = 46

10x + 26 = 46

10x = 20

x = 2

Теперь найдем длину отрезка |MC|:

|MC| = 2x + 5 = 2 * 2 + 5 = 4 + 5 = 9 см

Ответ: |MC| = 9 см