The diagram shows a parallelogram OPQT. The position vector of P is a and the position vector of T is b. K is on PQ so that PK : KQ = 3 : 1. The lines OK and TQ are extended to meet at X. Find the position vector of X in terms of a and b. Give your answer in its simplest form.

Перевод задания: На рисунке изображён параллелограмм OPQT. Радиус-вектор точки P равен a, а радиус-вектор точки T равен b. Точка K лежит на PQ, причём PK : KQ = 3 : 1. Прямые OK и TQ продолжены до пересечения в точке X. Найдите радиус-вектор X через a и b и запишите ответ в простейшем виде.

Since OPQT is a parallelogram, the position vector of Q is \(\mathbf{a}+\mathbf{b}\). (Так как OPQT — параллелограмм, радиус-вектор Q равен \(\mathbf{a}+\mathbf{b}\).)

Because \(PK:KQ=3:1\), point K is three quarters of the way from P to Q. Thus \(\overrightarrow{OK}=\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\). (Поскольку \(PK:KQ=3:1\), точка K находится на расстоянии трёх четвертей пути от P до Q. Поэтому \(\overrightarrow{OK}=\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\).)

Point X lies on OK, so its position vector is \(\lambda\left(\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right)\) for some scalar \(\lambda\). It also lies on the line TQ, which is parallel to OP; therefore the coefficient of \(\mathbf{b}\) in its position vector is 1. Hence \(\frac{3}{4}\lambda=1\), giving \(\lambda=\frac{4}{3}\). (Точка X лежит на OK, поэтому её радиус-вектор имеет вид \(\lambda\left(\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right)\). Она также лежит на прямой TQ, параллельной OP, поэтому коэффициент при \(\mathbf{b}\) в её радиус-векторе равен 1. Значит, \(\frac{3}{4}\lambda=1\), откуда \(\lambda=\frac{4}{3}\).)

Therefore, \(\overrightarrow{OX}=\frac{4}{3}\left(\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right)=\frac{4}{3}\mathbf{a}+\mathbf{b}\). (Следовательно, \(\overrightarrow{OX}=\frac{4}{3}\left(\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right)=\frac{4}{3}\mathbf{a}+\mathbf{b}\).)

Answer: \(\frac{4}{3}\mathbf{a}+\mathbf{b}\). (Ответ: \(\frac{4}{3}\mathbf{a}+\mathbf{b}\).)