The diagram shows a triangle OAB and a parallelogram OALK. The position vector of A is a and the position vector of B is b. K is a point on AB so that AK : KB = 1 : 2. Find the position vector of L, in terms of a and b. Give your answer in its simplest form.

Перевод задания: На рисунке показаны треугольник OAB и параллелограмм OALK. Радиус-вектор точки A равен a, а радиус-вектор точки B равен b. Точка K лежит на AB, причём AK : KB = 1 : 2. Найдите радиус-вектор точки L через a и b. Запишите ответ в простейшем виде.

Since AK : KB = 1 : 2, point K is one third of the way from A to B. (Так как AK : KB = 1 : 2, точка K находится на одной трети пути от A до B.)

\(\overrightarrow{OK}=\mathbf{a}+\frac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}.\) (\(\overrightarrow{OK}=\mathbf{a}+\frac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}.\))

In parallelogram OALK, \(\overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OK}\). (В параллелограмме OALK: \(\overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OK}\).)

\(\overrightarrow{OL}=\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}=\frac{5}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}.\) (\(\overrightarrow{OL}=\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}=\frac{5}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}.\))

Answer: \(\overrightarrow{OL}=\frac{5}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}\).

Перевод решения: Поскольку AK : KB = 1 : 2, точка K находится на одной трети пути от A до B. Радиус-вектор K равен \(\overrightarrow{OK}=\mathbf{a}+\frac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}\). В параллелограмме OALK радиус-вектор L равен сумме радиус-векторов A и K: \(\overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OK}=\mathbf{a}+\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}=\frac{5}{3}\mathbf{a}+\frac{1}{3}\mathbf{b}\).