The image contains a geometry problem with a diagram and some text written on a blackboard. The text appears to be in Russian and includes mathematical notation.

Решение:

Нам дан треугольник \( \triangle ABC \). Из условия задачи следует, что \( AO=BO=CO \). Это означает, что точка \( O \) является центром описанной окружности, и \( AO, BO, CO \) — это радиусы этой окружности.

Из условия \( AO=BO=CO \) следует, что \( \triangle ABC \) — равнобедренный, а \( O \) — центр описанной окружности.

Также дано \( \angle CBO = 30^{\circ} \). Так как \( AO=BO=CO \), то \( \triangle BOC \) — равнобедренный с основанием \( BC \). Следовательно, \( \angle BCO = \angle CBO = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC \) в \( \triangle BOC \) равен \( 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle BAC \) опирается на дугу \( BC \) и равен половине центрального угла \( \angle BOC \). Следовательно, \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Дано, что \( OC = 10 \text{ см} \). Так как \( OC \) — радиус описанной окружности, то радиус равен \( R = 10 \text{ см} \).

Из условия \( AO=BO=CO \) следует, что \( AO = BO = CO = 10 \text{ см} \).

В \( \triangle BOC \), по теореме синусов:

\[ \frac{BC}{\sin \angle BOC} = 2R \]\[ \frac{BC}{\sin 120^{\circ}} = 2 \cdot 10 \]\[ BC = 20 \cdot \sin 120^{\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ см} \]\[ \text{sin } 120^{\circ} = \text{sin } (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \text{sin } 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

В \( \triangle AOC \), \( AO = CO = 10 \text{ см} \), \( \angle AOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AC \).

\( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \).

\( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle BOC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) (развернутый угол). Это неверно. \( \angle AOC \) и \( \angle BOC \) не смежные.

Так как \( AO=BO=CO \), \( \triangle ABC \) равносторонний. Это следует из того, что \( \angle BAC = 60^{\circ} \) и \( AO=BO=CO \).

Если \( \triangle ABC \) равносторонний, то \( \angle ABC = \angle BCA = 60^{\circ} \).

Проверим условие \( \angle CBO = 30^{\circ} \). Если \( \triangle ABC \) равносторонний, то \( BO \) — биссектриса, медиана и высота. \( \angle CBO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \). Условие выполняется.

Следовательно, \( \triangle ABC \) — равносторонний.

Нам нужно найти \( OM \), где \( M \) — середина \( BC \). \( OM \) — высота \( \triangle BOC \).

В равностороннем \( \triangle ABC \), \( AO \) — радиус описанной окружности. \( AO = R = 10 \text{ см} \).

Высота равностороннего треугольника \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — сторона треугольника.

Радиус описанной окружности \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

\( 10 = \frac{a}{\sqrt{3}} \) \(\Rightarrow\) \( a = 10\sqrt{3} \text{ см} \).

\( OM \) — апофема, то есть радиус вписанной окружности \( r \).

\( r = \frac{1}{3} h \) или \( r = \frac{R}{2} \).

\( OM = r = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \).

Ответ:

OM = 5 см.