The image contains handwritten text in Russian related to geometry. It seems to be a homework assignment with tasks for inscribing and circumscribing a circle in/around a triangle. Task 1: "Вписать окр-ть" (Inscribe a circle) Task 2: "Описать окр-ть" (Circumscribe a circle) Given: Triangle ABC, with angle C = 90 degrees. Could you please explain how to approach these problems, specifically for a right-angled triangle?

Решение:

Привет! Давай разберемся с этими задачами по геометрии. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Нам нужно вписать в него окружность (чтобы она касалась всех сторон) и описать около него окружность (чтобы все вершины треугольника лежали на ней).

1. Вписать окружность (вписанная окружность)

• Свойство: Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника.
• Формула для радиуса (r) прямоугольного треугольника:

  \[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

  Где:
  • a и b — катеты (стороны, прилегающие к прямому углу, то есть AC и BC)
  • c — гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу, то есть AB)
• Как найти центр: Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис углов треугольника.
• Построение:
  1. Найди радиус по формуле.
  2. Проведи биссектрисы углов A и B. Их точка пересечения — центр окружности (O).
  3. Из центра O проведи перпендикуляры к сторонам треугольника (AC, BC, AB). Длина этих перпендикуляров равна радиусу r.
  4. Начерти окружность с центром O и радиусом r. Она будет касаться всех сторон треугольника.

2. Описать окружность (описанная окружность)

• Свойство: Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника.
• Ключевое свойство для прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
• Формула для радиуса (R) прямоугольного треугольника:

  \[ R = \frac{c}{2} \]

  Где:
  • c — гипотенуза (AB)
• Как найти центр: Найди середину гипотенузы AB. Это и будет центр описанной окружности (O').
• Построение:
  1. Найди середину гипотенузы AB. Это центр (O').
  2. Из центра O' проведи окружность так, чтобы она проходила через вершины A, B и C. Радиус будет равен половине гипотенузы.

Итог: Для прямоугольного треугольника эти задачи решаются немного проще благодаря его особым свойствам!