The image contains two geometry problems. The first problem (labeled with a circled 5) shows a triangle KFE with sides KM=6 and MF=8. It also states that KF = EF and asks for the perimeter of triangle KFE. The second problem (labeled with a circled 9) shows a triangle inscribed in a circle with center O. The segment KO has length 5, and it is implied that the triangle is equilateral. The question asks for the length of KE.

Задача 1: Найти периметр треугольника KFE

• Дано: Треугольник KFE, KF = EF, KM = 6, MF = 8.
• Найти: Периметр P_ΔKFE - ?
• Решение:
• Так как KF = EF, треугольник KFE — равнобедренный. Точка M лежит на стороне FE. KM является высотой, проведенной к основанию FE, поскольку она перпендикулярна FE (видно по изображению, что угол KMF прямой).
• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, FM = ME.
• По условию MF = 8, значит ME = 8.
• Длина стороны FE = FM + ME = 8 + 8 = 16.
• Теперь найдем длину боковой стороны KF, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике KMF:
• KF² = KM² + MF²
• KF² = 6² + 8²
• KF² = 36 + 64
• KF² = 100
• KF = √100 = 10
• Так как KF = EF (по условию), то EF = 10.
• Периметр треугольника KFE = KF + FE + EF = 10 + 16 + 10 = 36.

Задача 2: Найти длину KE

• Дано: Треугольник KME inscribed in a circle with center O. KO = 5. Треугольник KME равносторонний (по отметкам на сторонах).
• Найти: KE - ?
• Решение:
• Поскольку треугольник KME равносторонний, O является центром описанной окружности, и KO — это радиус этой окружности.
• Радиус описанной окружности (R) = 5.
• Для равностороннего треугольника со стороной 'a' радиус описанной окружности вычисляется по формуле: R = \( \frac{a}{\sqrt{3}} \).
• Выразим сторону 'a' (KE):
• a = R * √3
• a = 5 * √3
• Следовательно, длина KE = 5√3.

Ответ: Периметр ΔKFE = 36; KE = 5√3.