The image displays a right-angled triangle ABC, with a point D on AC. The side BC has a length of 18, and the hypotenuse AB has a length of 30. The segment CD has a length of x, and the segment DA has a length of y. Angle CBD is marked with a small arc, and angle ABD is also marked with a small arc, indicating they are equal. This implies that BD is the angle bisector of angle ABC.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( ABC \) (угол \( C = 90^{\circ} \)). На гипотенузе \( AB \) отрезок \( BC = 18 \), \( AB = 30 \). Точка \( D \) лежит на катете \( AC \). Отрезок \( BD \) является биссектрисой угла \( ABC \), так как углы \( \angle CBD \) и \( \angle ABD \) обозначены одинаково.

По теореме Пифагора найдём длину катета \( AC \):

\[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \]

\[ AC^2 = 30^2 - 18^2 \]

\[ AC^2 = 900 - 324 \]

\[ AC^2 = 576 \]

\[ AC = \sqrt{576} = 24 \]

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

\[ \frac{CD}{DA} = \frac{BC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{x}{y} = \frac{18}{30} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \]

Это значит, что \( x = \frac{3}{5}y \).

Также мы знаем, что \( AC = CD + DA \):

\[ 24 = x + y \]

Теперь подставим \( x = \frac{3}{5}y \) в уравнение \( 24 = x + y \):

\[ 24 = \frac{3}{5}y + y \]

\[ 24 = \frac{3y + 5y}{5} \]

\[ 24 = \frac{8y}{5} \]

\[ y = \frac{24 \cdot 5}{8} = 3 \cdot 5 = 15 \]

Теперь найдём \( x \):

\[ x = 24 - y = 24 - 15 = 9 \]

Таким образом, \( x = 9 \) и \( y = 15 \).

Ответ: x = 9, y = 15.