The OCR of the image is: --- CTBO 3 (x-3) (x+1) x²+x-12 ≤ 0. ---

Решение:

Данное неравенство относится к теме "Решение рациональных неравенств".

1. Разложим знаменатель на множители:
• Квадратный трехчлен \(x^2+x-12\). Найдем его корни через дискриминант или по теореме Виета.
• \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\)
• \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2} = -4\)
• \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\)
• Таким образом, \(x^2+x-12 = (x+4)(x-3)\).
2. Перепишем неравенство с разложенным знаменателем:
• \(\frac{(x-3)^3 (x+1)}{(x+4)(x-3)} \le 0\)
3. Сократим дробь, учитывая, что \(x
   e 3\) (так как знаменатель не должен быть равен нулю):
• \(\frac{(x-3)^2 (x+1)}{x+4} \le 0\)
4. Проанализируем знаки множителей:
• Выражение \((x-3)^2\) всегда неотрицательно. Так как \(x
  e 3\), то \((x-3)^2 > 0\) при \(x
  e 3\).
• Следовательно, знак всего выражения будет определяться знаком дроби \(\frac{x+1}{x+4}\).
• Нам нужно, чтобы \(\frac{x+1}{x+4} \le 0\).
5. Решим методом интервалов:
• Найдем критические точки: \(x+1=0 \implies x=-1\) и \(x+4=0 \implies x=-4\).
• Отметим эти точки на числовой оси.
• Расставим знаки:
• При \(x > -1\) (например, \(x=0\)): \(\frac{0+1}{0+4} = \frac{1}{4} > 0\).
• При \(-4 < x < -1\) (например, \(x=-2\)): \(\frac{-2+1}{-2+4} = \frac{-1}{2} < 0\).
• При \(x < -4\) (например, \(x=-5\)): \(\frac{-5+1}{-5+4} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0\).
• Интервал, где \(\frac{x+1}{x+4} \le 0\), это \((-4; -1]\).
6. Учтем ограничения:
• Мы сократили дробь, предположив \(x
  e 3\). Это условие выполняется, так как \(3\) не входит в интервал \((-4; -1]\).
• Также знаменатель \(x^2+x-12\) не должен быть равен нулю, что означает \(x e 3\) и \(x e -4\). Точка \(x=-4\) исключается из решения (обозначается круглой скобкой). Точка \(x=-1\) включается (обозначается квадратной скобкой), так как неравенство нестрогое (\(\\) \(\\) \(\\) 0\)).

Финальный ответ:

Ответ: \(x ∈ (-4; -1]\)