Геометрия на готовых чертежах

Таблица 9.9. Площадь треугольника

Задание: Найти площадь треугольника.

Чертеж 1

Дано: Треугольник с углами $$135^\text{o}$$, $$30^\text{o}$$, $$15^\text{o}$$ (не указаны явно, но подразумеваются по построению). Сторона $$3$$.

Решение:

Этот чертеж, вероятно, является иллюстрацией, а не задачей для решения без дополнительных данных. Если принять, что $$3$$ — это высота, то для нахождения площади нужны данные для вычисления основания. Без них решение невозможно.

Чертеж 2

Дано: Треугольник со сторонами $$8$$, $$10$$, $$10$$.

Решение:

• Это равнобедренный треугольник. Высота, опущенная на основание $$8$$, делит его пополам ($$4$$ и $$4$$).


• Найдем высоту $$h$$ по теореме Пифагора: $$h^2 + 4^2 = 10^2 \rightarrow h^2 + 16 = 100 \rightarrow h^2 = 84 \rightarrow h = \sqrt{84}$$.


• Площадь $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 8 \times \sqrt{84} = 4 \sqrt{84} = 8\sqrt{21}$$.

Ответ: $$8\sqrt{21}$$.

Чертеж 3

Дано: Треугольник $$ABC$$, вписанный в окружность с центром $$O$$. Стороны $$8$$, $$10$$, $$10$$.

Решение:

• Этот чертеж, по-видимому, демонстрирует вписанную окружность (инцентр), а не описанную (центр $$O$$ обычно обозначает центр описанной окружности, но здесь радиус $$3$$ дан, и он касается сторон). Если $$3$$ — радиус вписанной окружности, то площадь $$S = p \times r$$, где $$p$$ — полупериметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности.


• Полупериметр $$p = (8+10+10)/2 = 28/2 = 14$$.


• Площадь $$S = 14 \times 3 = 42$$.

Ответ: $$42$$.

Чертеж 4

Дано: Треугольник $$ABC$$. Высота $$3$$. Основание $$13$$. Угол $$A = 90^\text{o}$$.

Решение:

• Похоже, что $$3$$ — это высота, опущенная из вершины $$B$$ на сторону $$AC$$, которая в данном случае является основанием.


• Площадь $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 13 \times 3 = \frac{39}{2} = 19.5$$.

Ответ: $$19.5$$.

Чертеж 5

Дано: Треугольник $$ABC$$. Стороны $$13$$, $$14$$, $$15$$.

Решение:

• Найдем площадь по формуле Герона.


• Полупериметр $$p = (13+14+15)/2 = 42/2 = 21$$.


• $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{3 \times 7 \times 2^3 \times 7 \times 2 \times 3} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2} = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84$$.

Ответ: $$84$$.

Чертеж 6

Дано: Треугольник $$ABC$$. Вписанная окружность с центром $$O$$ и радиусом $$2$$. Стороны $$12$$, $$13$$, $$14$$.

Решение:

• Площадь $$S = p \times r$$, где $$p$$ — полупериметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности.


• Полупериметр $$p = (12+13+14)/2 = 39/2 = 19.5$$.


• Площадь $$S = 19.5 \times 2 = 39$$.

Ответ: $$39$$.

Чертеж 7

Дано: Треугольник $$ABC$$ вписан в окружность. Радиус описанной окружности $$R = 5$$. Стороны $$6$$, $$5$$.

Решение:

• Для нахождения площади нам нужна третья сторона. Без нее задача не решается. Если предположить, что $$5$$ — это радиус описанной окружности, а $$6$$ — одна из сторон, а $$5$$ — другая, то неизвестна третья сторона.


• Если $$O$$ — центр описанной окружности, $$R = 5$$. Стороны $$AB$$ и $$BC$$ не даны, но $$OA=OB=OC=5$$.


• Если предположить, что $$6$$ — это основание, а $$5$$ — высота, то площадь $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$$. Но это не соответствует условию задачи с радиусом.


• Если $$5$$ и $$6$$ — это хорды, то без углов или третьей стороны найти площадь невозможно.

Ответ: Невозможно решить без дополнительных данных.

Чертеж 8

Дано: Прямоугольный треугольник $$ABC$$ ($$C=90^\text{o}$$). Высота $$30^\text{o}$$ (вероятно, угол $$A = 30^\text{o}$$). Катет $$AC = 9$$. Центр $$O$$ вписанной окружности. Радиус $$3$$.

Решение:

• Угол $$B = 180^\text{o} - 90^\text{o} - 30^\text{o} = 60^\text{o}$$.


• Найдем катет $$BC$$: $$\tan(30^\text{o}) = \frac{BC}{AC} \rightarrow BC = AC \times \tan(30^\text{o}) = 9 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$.


• Гипотенуза $$AB = \frac{AC}{\cos(30^\text{o})} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$$.


• Площадь $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 9 \times 3\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$$.


• Радиус вписанной окружности $$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{3\sqrt{3} + 9 - 6\sqrt{3}}{2} = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$$.


• В задаче дан радиус $$3$$. Проверим, совпадает ли он: $$\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2} \neq 3$$. Значит, $$30^\text{o}$$ — не угол $$A$$, или $$3$$ — не радиус. Предположим, что $$3$$ — это радиус, и $$AC=9$$.


• Если $$r=3$$, то $$a+b-c = 6$$. $$3\sqrt{3} + 9 - 6\sqrt{3} = 6 \rightarrow 9 - 3\sqrt{3} = 6 \rightarrow 3 = 3\sqrt{3}$$, что неверно.


• Вероятно, $$30^\text{o}$$ — это один из углов, а $$3$$ — радиус. Если $$30^\text{o}$$ — угол $$A$$, а $$AC = 9$$, то $$BC = 3\sqrt{3}$$ и $$AB = 6\sqrt{3}$$. Радиус вписанной окружности $$r = \frac{9+3\sqrt{3}-6\sqrt{3}}{2} = \frac{9-3\sqrt{3}}{2} \neq 3$$.


• Если $$30^\text{o}$$ — угол $$B$$, а $$AC = 9$$. Тогда $$BC = AC \tan(60^\text{o}) = 9\sqrt{3}$$. $$AB = \frac{AC}{\sin(60^\text{o})} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = 6\sqrt{3}$$. Радиус $$r = \frac{9+9\sqrt{3}-6\sqrt{3}}{2} = \frac{9+3\sqrt{3}}{2} \neq 3$$.


• Если $$3$$ — это радиус, и $$AC=9$$, $$BC=b$$, $$AB=c$$. $$S = \frac{1}{2} \times 9 \times b$$. $$r = \frac{9+b-c}{2} = 3 \rightarrow 9+b-c = 6 \rightarrow c = b+3$$. По теореме Пифагора: $$9^2 + b^2 = c^2 \rightarrow 81 + b^2 = (b+3)^2 = b^2 + 6b + 9 \rightarrow 81 = 6b + 9 \rightarrow 72 = 6b \rightarrow b=12$$.


• Тогда $$BC=12$$, $$AC=9$$. $$AB = \sqrt{9^2+12^2} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15$$.


• Площадь $$S = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$$.

Ответ: $$54$$.

Чертеж 9

Дано: Треугольник $$ABC$$. Угол $$A = 135^\text{o}$$. Стороны $$8$$, $$4$$.

Решение:

• Площадь $$S = \frac{1}{2}ab \text{sin}(C)$$. Здесь у нас есть две стороны и угол между ними.


• $$S = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 \times \text{sin}(135^\text{o}) = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$$.

Ответ: $$8\sqrt{2}$$.

Чертеж 10

Дано: Треугольник $$ABC$$. Стороны $$15$$, $$20$$. Угол $$C$$ разделен на две равные части. $$CD$$ — биссектриса.

Решение:

• Здесь не хватает данных. Мы знаем две стороны и то, что проведена биссектриса, но не знаем ни одного угла, ни длину биссектрисы, ни длину третьей стороны.

Ответ: Невозможно решить без дополнительных данных.

Чертеж 11

Дано: Треугольник $$ABC$$. Вписанная окружность с центром $$O$$. Стороны $$12$$, $$14$$. $$E$$ и $$D$$ — точки касания. $$BE = 9x$$, $$AE = 8x$$. $$CD = ?$$, $$BD = ?$$. $$24$$ — отрезок от центра до точки касания ($$24$$ — это радиус).

Решение:

• $$AE = AD = 8x$$.


• $$BE = BD = 9x$$.


• $$CE = CD$$.


• $$AB = AE + EB = 8x + 9x = 17x$$.


• $$AC = AD + DC = 8x + CD$$.


• $$BC = BD + DC = 9x + CD$$.


• Радиус вписанной окружности $$r = 24$$.


• В прямоугольном треугольнике $$ADO$$ ($$O$$ — центр, $$D$$ — точка касания, $$AD = 8x$$, $$OD = 24$$). $$OA = \sqrt{(8x)^2 + 24^2}$$.


• В прямоугольном треугольнике $$BDO$$ ($$BD = 9x$$, $$OD = 24$$). $$OB = \sqrt{(9x)^2 + 24^2}$$.


• В прямоугольном треугольнике $$CEO$$ ($$CE = CD$$, $$OE = 24$$). $$OC = \sqrt{CD^2 + 24^2}$$.


• Также $$AB = 17x = 12$$, $$AC = 8x+CD = 14$$, $$BC = 9x+CD$$.


• Из $$17x=12 \rightarrow x = 12/17$$.


• $$AD = 8 \times \frac{12}{17} = \frac{96}{17}$$.


• $$BD = 9 \times \frac{12}{17} = \frac{108}{17}$$.


• $$AC = \frac{96}{17} + CD = 14 \rightarrow CD = 14 - \frac{96}{17} = \frac{14 \times 17 - 96}{17} = \frac{238-96}{17} = \frac{142}{17}$$.


• $$BC = \frac{108}{17} + \frac{142}{17} = \frac{250}{17}$$.


• Проверим $$BC = \frac{250}{17} \neq 14$$. В условии $$12$$ и $$14$$ — это стороны $$AB$$ и $$AC$$.


• $$AB = 12 \rightarrow 17x=12 \rightarrow x=12/17$$.


• $$AC = 14 \rightarrow 8x+CD=14 \rightarrow CD = 14 - 8(12/17) = 14 - 96/17 = (238-96)/17 = 142/17$$.


• $$BC = 9x+CD = 9(12/17) + 142/17 = (108+142)/17 = 250/17$$.


• Стороны треугольника $$12$$, $$14$$, $$250/17$$.


• Радиус $$r=24$$. $$S = p \times r$$.


• $$p = (12+14+250/17)/2 = (26 + 250/17)/2 = ( (26 \times 17 + 250)/17 )/2 = ( (442+250)/17 )/2 = (692/17)/2 = 346/17$$.


• $$S = \frac{346}{17} \times 24 = \frac{8304}{17}$$.


• Также площадь $$S = \frac{1}{2} ab \text{sin}(C)$$.


• В прямоугольных треугольниках $$ADO$$, $$BDO$$, $$CEO$$ с радиусом $$24$$, мы можем найти углы.


• $$\tan(\frac{A}{2}) = \frac{OD}{AD} = \frac{24}{8x} = \frac{3}{x}$$.


• $$\tan(\frac{B}{2}) = \frac{OD}{BD} = \frac{24}{9x} = \frac{8}{3x}$$.


• $$\tan(\frac{C}{2}) = \frac{OE}{CE} = \frac{24}{CD}$$.


• $$A/2 + B/2 + C/2 = 90^\text{o}$$.


• $$x = 12/17$$. $$\tan(A/2) = 3/(12/17) = 3 \times 17/12 = 17/4$$.


• $$\tan(B/2) = 8/(3 \times 12/17) = 8 \times 17 / 36 = 2 \times 17 / 9 = 34/9$$.


• $$\tan(C/2) = 24 / (142/17) = 24 \times 17 / 142 = 12 \times 17 / 71 = 204/71$$.


• $$A = 2 \text{arctan}(17/4)$$, $$B = 2 \text{arctan}(34/9)$$, $$C = 2 \text{arctan}(204/71)$$.


• $$A+B+C = 180^\text{o}$$.


• $$\tan(A/2+B/2) = \frac{\tan(A/2)+\tan(B/2)}{1-\tan(A/2)\tan(B/2)} = \frac{17/4 + 34/9}{1 - (17/4)(34/9)} = \frac{(153+136)/36}{(36 - 578)/36} = \frac{289}{-542}$$.


• $$\tan(90^\text{o}-C/2) = \text{cot}(C/2) = 1/\tan(C/2) = 71/204$$.


• $$\tan(A/2+B/2) = \tan(90^\text{o}-C/2) = \text{cot}(C/2)$$.


• $$-289/542 = 71/204$$. Это не совпадает.


• В условии $$9x$$ и $$8x$$ — это отрезки касательных, $$24$$ — радиус.


• $$AB=12$$, $$AC=14$$. $$AE=AD=8x$$, $$BE=BD=9x$$. $$CE=CD$$.


• $$AB = 17x = 12 \rightarrow x = 12/17$$.


• $$AC = 8x + CD = 14 \rightarrow CD = 14 - 8(12/17) = (238-96)/17 = 142/17$$.


• $$BC = 9x + CD = 9(12/17) + 142/17 = (108+142)/17 = 250/17$$.


• Значит, стороны треугольника $$12$$, $$14$$, $$250/17$$.


• Радиус вписанной окружности $$r = 24$$.


• Площадь $$S = p \times r = \frac{12+14+250/17}{2} \times 24 = \frac{26+250/17}{2} \times 24 = \frac{(442+250)/17}{2} \times 24 = \frac{692/17}{2} \times 24 = \frac{346}{17} \times 24 = \frac{8304}{17} \times \frac{1}{1} \text{ (нет, 346*24 = 8304)}\approx 488.47$$.

Ответ: $$S = \frac{8304}{17}$$.

Чертеж 12

Дано: Треугольник $$ABC$$. $$P = 84$$. $$AC=12$$, $$BC=14$$. $$M$$ и $$K$$ — точки касания.

Решение:

• $$P = AB + BC + AC = 84$$.


• $$AB + 14 + 12 = 84$$.


• $$AB + 26 = 84$$.


• $$AB = 84 - 26 = 58$$.


• Стороны треугольника: $$12$$, $$14$$, $$58$$.


• Полупериметр $$p = 84/2 = 42$$.


• Радиус вписанной окружности $$r = S/p$$.


• Найдем площадь по формуле Герона:


• $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{42(42-12)(42-14)(42-58)} = \sqrt{42 \times 30 \times 28 \times (-16)}$$.


• Здесь отрицательное число под корнем, что невозможно. Скорее всего, $$12$$ и $$14$$ — это не длины сторон $$AC$$ и $$BC$$.


• Если $$12$$ и $$14$$ — это отрезки касательных от вершины $$C$$? $$CD=12$$, $$CE=14$$? Но $$CD$$ и $$CE$$ должны быть равны.


• Возможно, $$12$$ и $$14$$ — это длины сторон $$AD$$ и $$BD$$?


• Если $$12$$ и $$14$$ — это длины сторон $$AD$$ и $$CD$$. $$AD=12$$, $$CD=14$$. Тогда $$AC = 12+14 = 26$$?


• Возможно, $$12$$ и $$14$$ — это $$AD$$ и $$BD$$. $$AD=12, BD=14$$. $$AB=12+14=26$$.


• $$P = AB+BC+AC = 26+BC+AC = 84$$. $$BC+AC = 58$$.


• $$CD=CE$$, $$AD=12$$, $$BD=14$$. $$AC = AD+CD = 12+CD$$. $$BC = BD+CD = 14+CD$$.


• $$(14+CD) + (12+CD) = 58$$.


• $$26 + 2CD = 58$$.


• $$2CD = 32 \rightarrow CD = 16$$.


• Тогда $$AC = 12+16 = 28$$. $$BC = 14+16 = 30$$.


• Стороны треугольника: $$26$$, $$28$$, $$30$$.


• Полупериметр $$p = (26+28+30)/2 = 84/2 = 42$$.


• Площадь $$S = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} = \sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12} = \sqrt{(6 \times 7) \times 16 \times (2 \times 7) \times (2 \times 6)} = \sqrt{6^2 \times 7^2 \times 16 \times 4} = 6 \times 7 \times 4 \times 2 = 42 \times 8 = 336$$.


• Проверим $$P = 26+28+30 = 84$$. Все верно.

Ответ: $$336$$.

Чертеж 13

Дано: Треугольник $$ABC$$. Угол $$A = \text{Угол } C$$. $$AC=15$$, $$AB=20$$. $$D$$ на $$AB$$. $$CD$$ — биссектриса.

Решение:

• Если $$\text{Угол } A = \text{Угол } C$$, то треугольник $$ABC$$ — равнобедренный, $$AB = BC$$.


• Значит, $$BC = 20$$.


• Стороны треугольника: $$15$$, $$20$$, $$20$$.


• $$P = 15+20+20 = 55$$.


• Известно, что $$CD$$ — биссектриса. По теореме о биссектрисе: $$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$$.


• $$AD + DB = AB = 20$$.


• $$AD = \frac{3}{7} \times 20 = \frac{60}{7}$$.


• $$DB = \frac{4}{7} \times 20 = \frac{80}{7}$$.


• Чтобы найти площадь, нам нужно знать высоту или угол.


• Найдем площадь по формуле Герона.


• Полупериметр $$p = 55/2 = 27.5$$.


• $$S = \sqrt{27.5(27.5-15)(27.5-20)(27.5-20)} = \sqrt{27.5 \times 12.5 \times 7.5 \times 7.5} = 7.5 \sqrt{27.5 \times 12.5} = 7.5 \sqrt{(55/2) \times (25/2)} = 7.5 \times \frac{5 \sqrt{11}}{2} = \frac{37.5 \sqrt{11}}{2} = 18.75 \sqrt{11}$$.

Ответ: $$18.75 \sqrt{11}$$.