The process of starting a claim in civil court is commonly called ...

Решение:

Процесс инициирования иска в гражданском суде — это подача документов в суд, которая называется filing a claim.

Варианты ответов:

• Issuing a warrant – выдача ордера.
• Filing a claim – подача иска.
• Serving a summons – вручение повестки.
• Registering a dispute – регистрация спора (более общее понятие, может не относиться к суду).

Ответ: Filing a claim