The provided image contains a mathematical theorem and its proof. The theorem states that the area of a rectangle is equal to the product of the lengths of its adjacent sides. The proof demonstrates this for rational side lengths by dividing the rectangle into unit squares. The question is to analyze the content of the image.

Теорема 20.1: Площадь прямоугольника

Суть теоремы: Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.

Доказательство для рациональных сторон:

• Пусть прямоугольник ABCD имеет стороны AB = a и BC = b.
• Если a и b — рациональные числа, их можно представить в виде обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем:
• \[ a = \frac{p}{n} \]
• \[ b = \frac{q}{n} \]
• Где p, q, n — натуральные числа.
• Сторону AB делим на p равных частей, а сторону BC — на q равных частей.
• Проводим прямые через точки деления, параллельные сторонам.
• Прямоугольник оказывается разделённым на pq равных квадратов со стороной \[ \frac{1}{n} \].
• Площадь каждого такого квадрата равна \[ \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{n^2} \].
• Общая площадь прямоугольника — это сумма площадей всех pq квадратов:
• \[ S = \underbrace{\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2} + ... + \frac{1}{n^2}}_{pq \text{ слагаемых}} = pq \cdot \frac{1}{n^2} \]
• Подставляя значения a и b, получаем:
• \[ S = pq \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{p}{n} \cdot \frac{q}{n} = a \cdot b \]

Иллюстрация (Рис. 209):

Рисунок показывает прямоугольник, разделённый на сетку квадратов. Длина стороны BC обозначена как q частей, где каждая часть равна \[ \frac{1}{n} \]. Длина стороны AB обозначена как p частей, где каждая часть также равна \[ \frac{1}{n} \]. Показан один малый квадрат со стороной \[ \frac{1}{n} \].

Примечание: Случай, когда одна из сторон является иррациональным числом, выходит за рамки данного рассмотрения.