The students were given the task to draw a plan of the school grounds. The real dimensions of the grounds are 250 m x 200 m. The plan needs to be drawn on an album sheet with dimensions 31 cm x 21 cm. What is the scale of the drawing?

Решение:

• Определим, какая из сторон плана соответствует большей стороне участка, а какая — меньшей. Так как 31 см > 21 см, то 31 см соответствует 250 м, а 21 см — 200 м.
• Рассчитаем масштаб по большей стороне: 250 м = 25000 см. Масштаб = 25000 см / 31 см ≈ 806.
• Рассчитаем масштаб по меньшей стороне: 200 м = 20000 см. Масштаб = 20000 см / 21 см ≈ 952.
• Поскольку масштаб должен быть единым для всей карты, мы берем наименьшее возможное значение для каждой стороны, чтобы убедиться, что весь участок поместится на листе. Однако, для упрощения и соответствия общепринятой практике, мы часто округляем до удобных круглых чисел. В данном случае, для сохранения пропорций и умещения на листе, можно принять масштаб, исходя из расчета, который позволяет вместить обе стороны.
• Если 31 см соответствует 250 м, то 1 см на карте соответствует 250 м / 31 см = 8.06 м.
• Если 21 см соответствует 200 м, то 1 см на карте соответствует 200 м / 21 см = 9.52 м.
• Чтобы сохранить пропорции, мы должны использовать один и тот же масштаб для обеих сторон. Возьмем меньший из масштабов (для большей стороны), чтобы гарантировать, что участок поместится на листе.
• Масштаб = 1 : (25000 / 31) ≈ 1 : 806.
• Если мы используем этот масштаб, то ширина участка на плане будет: 200 м / 8.06 м/см ≈ 24.8 см. Эта величина меньше 21 см, что означает, что если мы используем масштаб 1:806, то участок поместится.
• Чтобы обеспечить, что обе стороны поместятся, мы должны использовать масштаб, который позволяет вместить обе стороны. Если мы используем масштаб 1:952 (из расчета 200м/21см), то длина участка на плане будет 250м / (200м/21см) = 250м * (21см/200м) = 26.25 см. Это значение меньше 31 см.
• Таким образом, для того чтобы участок поместился на листе, масштаб должен быть таким, чтобы 31 см на плане соответствовало не более 250 м, и 21 см соответствовало не более 200 м.
• Масштаб = 25000 см / 31 см ≈ 1 : 806
• Масштаб = 20000 см / 21 см ≈ 1 : 952
• Чтобы участок поместился, мы должны выбрать масштаб, который позволит вместить как длину, так и ширину. Для этого мы берем максимальное значение отношения реальной величины к величине на плане, что соответствует минимальному масштабу.
• Наибольший числитель в пропорции: 25000/31 ≈ 806.29. Наибольший числитель во второй пропорции: 20000/21 ≈ 952.38.
• Чтобы обе стороны поместились, мы должны использовать масштаб, который меньше или равен наименьшему отношению: 806.29.
• Следовательно, мы должны использовать масштаб, который не превышает 1:806. Чаще всего в таких задачах подразумевается выбор удобного масштаба, который позволяет уместить объект. Если бы требовалось точное соответствие, то пришлось бы выбирать между двумя масштабами.
• Для удобства можно выбрать ближайший удобный масштаб, например, 1:1000, тогда 250 м будет 25 см, а 200 м будет 20 см. Оба значения поместятся на листе 31х21 см.
• Если задача предполагает найти точный масштаб, то нужно учитывать, что масштаб должен быть одинаковым для обеих сторон.
• Пусть масштаб будет 1:X. Тогда 250 м = 25000 см, 200 м = 20000 см.
• 25000 / 31 = X => X ≈ 806
• 20000 / 21 = X => X ≈ 952
• Чтобы участок поместился, нужно взять наименьший масштаб, т.е. X = 806.
• Если мы используем масштаб 1:806, то:
• Длина на плане: 25000 см / 806 ≈ 31.01 см.
• Ширина на плане: 20000 см / 806 ≈ 24.81 см.
• Длина 31.01 см не поместится на 31 см.
• Значит, мы должны использовать масштаб, который позволяет вместить обе стороны.
• Пусть масштаб будет 1:X.
• 25000 / X ≤ 31 => X ≥ 25000 / 31 ≈ 806
• 20000 / X ≤ 21 => X ≥ 20000 / 21 ≈ 952
• Для того чтобы обе стороны поместились, X должно быть больше или равно наибольшему из этих значений.
• X ≥ 952.
• Следовательно, мы можем выбрать любой масштаб, где X ≥ 952. Наиболее удобным для черчения будет ближайший круглый масштаб.
• Например, масштаб 1:1000.
• 250 м = 25000 см. На плане: 25000 / 1000 = 25 см.
• 200 м = 20000 см. На плане: 20000 / 1000 = 20 см.
• Обе величины (25 см и 20 см) помещаются на листе размером 31 см x 21 см.
• Таким образом, масштаб чертежа может быть 1:1000.

Ответ: Масштаб чертежа 1:1000.