The user provided an image containing a geometry problem and expects an answer in JSON format.

Условие задания:

Даны точки D, B, C, M. Известно, что DB = BC, DB || MC, ∠BCM = 164°.

Задача:

Найти величину угла ∠1.

Решение:

1. 
   

   Анализ данных:

   
   
   
   
   • DB = BC: Это означает, что треугольник DBC является равнобедренным.
   
   
   • DB || MC: Прямые DB и MC параллельны.
   
   
   • ∠BCM = 164°: Это угол, образованный прямой BC и лучом CM.
   
   
   
   


2. 
   

   Связь углов:

   
   

   Так как DB || MC, то угол ∠DBC и угол ∠BCM являются односторонними углами при секущей BC. Сумма односторонних углов равна 180°.

   
   

   Следовательно, ∠DBC + ∠BCM = 180°.

   
   

   Подставляем известные значения: ∠DBC + 164° = 180°.

   
   

   Отсюда, ∠DBC = 180° - 164° = 16°.

   
   


3. 
   

   Работа с равнобедренным треугольником DBC:

   
   

   Мы знаем, что DB = BC, значит, треугольник DBC — равнобедренный с основанием DC.

   
   

   Углы при основании равнобедренного треугольника равны. То есть, ∠BDC = ∠BCD.

   
   

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике DBC:

   
   

   \[ \angle DBC + \angle BDC + \angle BCD = 180° \]

   
   

   Подставляем ∠DBC = 16° и ∠BDC = ∠BCD:

   
   

   \[ 16° + 2 \cdot \angle BCD = 180° \]

   
   

   \[ 2 \cdot \angle BCD = 180° - 16° \]

   
   

   \[ 2 \cdot \angle BCD = 164° \]

   
   

   \[ \angle BCD = \frac{164°}{2} = 82° \]

   
   

   Таким образом, ∠BDC = 82° и ∠BCD = 82°.

   
   


4. 
   

   Нахождение угла ∠1:

   
   

   Угол ∠1 является частью угла ∠BDC. На изображении видно, что угол ∠1 обозначен как один из углов, образующихся при пересечении диагонали DC с параллельными прямыми. На самом деле, из контекста задачи и рисунка, ∠1 является частью угла ∠BDC. Предполагается, что на рисунке угол 1 является углом ∠BDC.

   
   

   Исходя из рисунка, угол ∠1 является углом ∠BDC, который мы нашли в предыдущем шаге.

   
   

   Важное уточнение: На рисунке угол 1 обозначен у вершины D, внутри треугольника DBC. Если мы интерпретируем ∠1 как угол ∠BDC, то ∠1 = 82°.

   
   

   Однако, если ∠1 это другой угол, который образуется при пересечении прямых, то нужны дополнительные построения или данные. Но, учитывая контекст школьной задачи, ∠1, скорее всего, соответствует одному из углов треугольника DBC.

   
   

   Наиболее вероятная интерпретация, учитывая рисунок, что ∠1 = ∠BDC.

   
   

Ответ: 82