The user provided an image of a math problem and expects an analysis.

Привет! Давай разберемся с этим математическим примером. Он выглядит сложным, но мы справимся, если будем решать по шагам.

Шаг 1: Вычисляем числитель первой дроби

Сначала нужно разобраться с выражением в первых больших скобках: $$2\frac{38}{45} - \frac{1}{15}$$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

\[ 2\frac{38}{45} = \frac{2 \times 45 + 38}{45} = \frac{90 + 38}{45} = \frac{128}{45} \]

Теперь вычитаем:

\[ \frac{128}{45} - \frac{1}{15} \]

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 45 и 15 — это 45. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 3:

\[ \frac{1}{15} = \frac{1 \times 3}{15 \times 3} = \frac{3}{45} \]

Теперь вычитаем:

\[ \frac{128}{45} - \frac{3}{45} = \frac{128 - 3}{45} = \frac{125}{45} \]

Эту дробь можно сократить на 5:

\[ \frac{125}{45} = \frac{25}{9} \]

Шаг 2: Вычисляем знаменатель первой дроби

Теперь займемся выражением во вторых больших скобках: $$(18\frac{1}{2} - 13\frac{7}{9}) \times \frac{1}{85}$$.

Сначала вычтем смешанные числа:

\[ 18\frac{1}{2} - 13\frac{7}{9} \]

Переведем их в неправильные дроби:

\[ 18\frac{1}{2} = \frac{18 \times 2 + 1}{2} = \frac{36 + 1}{2} = \frac{37}{2} \]

\[ 13\frac{7}{9} = \frac{13 \times 9 + 7}{9} = \frac{117 + 7}{9} = \frac{124}{9} \]

Вычитаем:

\[ \frac{37}{2} - \frac{124}{9} \]

Общий знаменатель для 2 и 9 — это 18. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 9, а второй — на 2:

\[ \frac{37 \times 9}{2 \times 9} - \frac{124 \times 2}{9 \times 2} = \frac{333}{18} - \frac{248}{18} = \frac{333 - 248}{18} = \frac{85}{18} \]

Теперь умножим результат на $$\frac{1}{85}$$:

\[ \frac{85}{18} \times \frac{1}{85} = \frac{1}{18} \]

Шаг 3: Вычисляем вторую часть числителя

Теперь нужно посчитать выражение $$13\frac{8}{9} + 3\frac{3}{65} \times \frac{26}{99}$$.

Сначала выполним умножение:

\[ 3\frac{3}{65} \times \frac{26}{99} \]

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

\[ 3\frac{3}{65} = \frac{3 \times 65 + 3}{65} = \frac{195 + 3}{65} = \frac{198}{65} \]

Теперь умножим:

\[ \frac{198}{65} \times \frac{26}{99} \]

Заметим, что 198 = 2 * 99, а 65 = 5 * 13, а 26 = 2 * 13. Сократим:

\[ \frac{2 \times 99}{5 \times 13} \times \frac{2 \times 13}{99} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{5} \]

Теперь сложим с $$13\frac{8}{9}$$:

\[ 13\frac{8}{9} + \frac{4}{5} \]

Переведем $$13\frac{8}{9}$$ в неправильную дробь:

\[ 13\frac{8}{9} = \frac{13 \times 9 + 8}{9} = \frac{117 + 8}{9} = \frac{125}{9} \]

Теперь сложим:

\[ \frac{125}{9} + \frac{4}{5} \]

Общий знаменатель для 9 и 5 — это 45. Умножим первую дробь на 5, а вторую на 9:

\[ \frac{125 \times 5}{9 \times 5} + \frac{4 \times 9}{5 \times 9} = \frac{625}{45} + \frac{36}{45} = \frac{625 + 36}{45} = \frac{661}{45} \]

Шаг 4: Собираем первую часть примера

Теперь у нас есть:

\[ \left( \frac{25}{9} \right) : \left( \frac{661}{45} \right) \]

Деление дробей — это умножение на обратную дробь:

\[ \frac{25}{9} \times \frac{45}{661} \]

Сократим 45 и 9 (45 / 9 = 5):

\[ 25 \times \frac{5}{661} = \frac{125}{661} \]

Шаг 5: Собираем вторую часть примера

Теперь у нас есть:

\[ \frac{1}{18} \]

Шаг 6: Складываем результаты

Нужно сложить результаты из Шага 4 и Шага 5:

\[ \frac{125}{661} + \frac{1}{18} \]

Общий знаменатель — $$661 \times 18 = 11898$$.

\[ \frac{125 \times 18}{661 \times 18} + \frac{1 \times 661}{18 \times 661} = \frac{2250}{11898} + \frac{661}{11898} = \frac{2250 + 661}{11898} = \frac{2911}{11898} \]

Шаг 7: Разбираемся с «перевернутыми» дробями

Теперь посмотрим на нижнюю часть примера:

\[ \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}}} \]

Будем считать снизу вверх:

1. $$1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$
2. $$1 + \frac{1}{\frac{4}{3}} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$$
3. $$1 + \frac{1}{\frac{7}{4}} = 1 + \frac{4}{7} = \frac{7}{7} + \frac{4}{7} = \frac{11}{7}$$
4. $$\\frac{1}{\frac{11}{7}} = \frac{7}{11}$$

Шаг 8: Финальное деление

Теперь делим результат из Шага 6 на результат из Шага 7:

\[ \frac{2911}{11898} : \frac{7}{11} = \frac{2911}{11898} \times \frac{11}{7} \]

Произведем умножение:

\[ \frac{2911 \times 11}{11898 \times 7} = \frac{32021}{83286} \]

Проверим, можно ли сократить. 32021 не делится на 7. 11898 делится на 11, но 32021 не делится на 11. Похоже, это окончательный ответ.

Ответ: $$\frac{32021}{83286}$$