Тип 10 № 11133 i Найдите значение выражения (16a2-25b2): (4a-5b) при а=и в = -20

Ответ: -13.6

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение выражения

Используем формулу разности квадратов: \[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]

В нашем случае: \[16a^2 - \frac{1}{25b^2} = (4a)^2 - \left(\frac{1}{5b}\right)^2 = \left(4a - \frac{1}{5b}\right)\left(4a + \frac{1}{5b}\right)\]

Теперь разделим полученное выражение на \[\left(4a - \frac{1}{5b}\right)\]:

\[\frac{\left(4a - \frac{1}{5b}\right)\left(4a + \frac{1}{5b}\right)}{\left(4a - \frac{1}{5b}\right)} = 4a + \frac{1}{5b}\]

• Шаг 2: Подстановка значений a и b

Подставим значения \[a = -\frac{3}{4}\] и \[b = -\frac{1}{20}\] в упрощенное выражение:

\[4a + \frac{1}{5b} = 4\left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{5\left(-\frac{1}{20}\right)} = -3 + \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -3 - 4 = -7\]

По условию, необходимо найти значение выражения \[\left(16a^2 - \frac{1}{25b^2}\right) : \left(4a - \frac{1}{5b}\right)\] при заданных значениях a и b.

\[4a + \frac{1}{5b} = 4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{5 \cdot \left(-\frac{1}{20}\right)} = -3 + \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -3 - 4 = -7\]

• Шаг 3: Дополнительные вычисления (если необходимо)

Проверим, что при \[a = -\frac{3}{4}\] и \[b = -\frac{1}{20}\] выражение \[\left(4a - \frac{1}{5b}\right)\] не равно нулю:

\[4a - \frac{1}{5b} = 4\left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{1}{5\left(-\frac{1}{20}\right)} = -3 - \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -3 + 4 = 1\]

Так как \[\left(4a - \frac{1}{5b}\right) = 1\] , то деление возможно.

Сделаем подстановку числовых значений сразу в исходное выражение:\[\left(16 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{25 \cdot \left(-\frac{1}{20}\right)^2}\right) : \left(4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{1}{5 \cdot \left(-\frac{1}{20}\right)}\right) = \]

\[= \left(16 \cdot \frac{9}{16} - \frac{1}{25 \cdot \frac{1}{400}}\right) : \left(-3 - \frac{1}{-\frac{1}{4}}\right) = \left(9 - \frac{1}{\frac{1}{16}}\right) : (-3 + 4) = (9 - 16) : 1 = -7\]

• Вычисление с десятичными дробями:

\[a = -\frac{3}{4} = -0.75\]

\[b = -\frac{1}{20} = -0.05\]

\[4a + \frac{1}{5b} = 4 \cdot (-0.75) + \frac{1}{5 \cdot (-0.05)} = -3 + \frac{1}{-0.25} = -3 - 4 = -7\]

В исходное выражение: \[(16a^2 - \frac{1}{25b^2}) : (4a - \frac{1}{5b}) = (16 \cdot (-0.75)^2 - \frac{1}{25 \cdot (-0.05)^2}) : (4 \cdot (-0.75) - \frac{1}{5 \cdot (-0.05)}) = \]

\[ = (16 \cdot 0.5625 - \frac{1}{25 \cdot 0.0025}) : (-3 - \frac{1}{-0.25}) = (9 - \frac{1}{0.0625}) : (-3 + 4) = (9 - 16) : 1 = -7\]

\[4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{5 \cdot \left(-\frac{1}{20}\right)} = -3 + \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -3 - 4 = -7\]

Тогда \[4a+ \frac{1}{5b} = -7\]

Определим, чему равняется 13.6:\[13.6 = \frac{136}{10} = \frac{68}{5}\]

Проведем расчеты:\[\left(16a^2 - \frac{1}{25b^2}\right) : \left(4a - \frac{1}{5b}\right) = \]

\[\left(16 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{25 \cdot \left(-\frac{1}{20}\right)^2}\right) : \left(4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{1}{5 \cdot \left(-\frac{1}{20}\right)}\right)\]

\[\left(16 \cdot \frac{9}{16} - \frac{1}{25 \cdot \frac{1}{400}}\right) : \left(-3 - \frac{1}{-\frac{1}{4}}\right) = \left(9 - \frac{1}{\frac{1}{16}}\right) : (-3 + 4) = (9 - 16) : 1 = -7\]

Ответ: -7