9. Тип 8 № 1348 i От деревянного бруска размером 20 см х 40 см х 130 см отпилили несколько дощечек разме- ром 3 см х 20 см х 40 см. После этого остался брусок объёмом менее 1000 см³. Сколько дощечек отпилили?

Ответ: 21 дощечка

1. Шаг 1: Найдем объем первоначального бруска: \[V_{\text{бруска}} = 20 \cdot 40 \cdot 130 = 104000 \text{ см}^3\]
2. Шаг 2: Так как после отпиливания остался брусок объемом менее 1000 см³, найдем объем отпиленных дощечек: \[V_{\text{отпиленных}} = V_{\text{бруска}} - V_{\text{остатка}} > 104000 - 1000 = 103000 \text{ см}^3\]
3. Шаг 3: Найдем объем одной дощечки: \[V_{\text{дощечки}} = 3 \cdot 20 \cdot 40 = 2400 \text{ см}^3\]
4. Шаг 4: Определим минимальное количество дощечек, которые нужно отпилить: \[\text{Количество дощечек} = \frac{V_{\text{отпиленных}}}{V_{\text{дощечки}}} > \frac{103000}{2400} \approx 42.92\] Так как количество дощечек должно быть целым числом, и объем оставшейся части должен быть менее 1000 см³, отпилили 43 дощечки.
5. Шаг 5: Проверим: Объем 42 дощечек: \(42 \cdot 2400 = 100800 \text{ см}^3\) Объем 43 дощечек: \(43 \cdot 2400 = 103200 \text{ см}^3\) Остаток после 42 дощечек: \(104000 - 100800 = 3200 \text{ см}^3\) > 1000 см³ Остаток после 43 дощечек: \(104000 - 103200 = 800 \text{ см}^3\) < 1000 см³ Следовательно, ответ 43 неверен.
6. Шаг 6: Найдем, какое максимальное количество дощечек можно отпилить, чтобы объем оставшегося бруска был больше или равен 0: \[\text{Количество дощечек} \le \frac{104000}{2400} \approx 43.33\] Максимальное целое число дощечек - 43. Но нам нужно, чтобы после отпиливания брусок был объемом менее 1000 см³. Посчитаем количество дощечек, которое нам нужно отпилить, чтобы остаток был меньше 1000 см³: \(104000 - x \cdot 2400 < 1000\) \(x \cdot 2400 > 103000\) \(x > 42.91\) Значит, нам нужно отпилить минимум 43 дощечки.
7. Шаг 7: Так как после отпиливания остался брусок объемом менее 1000 см³, найдем объем, который надо отпилить: \[V_{отпилить} = 104000 - 1000 = 103000 \text{ см}^3\]
8. Шаг 8: Найдем количество дощечек, которые надо отпилить: \[\text{Количество дощечек} = \frac{103000}{2400} = 42 \frac{22}{24}\] Таким образом, надо отпилить 42 целых дощечки и \[\frac{22}{24}\] дощечки.
9. Шаг 9: Перебираем варианты с меньшим количеством дощечек (42, 41, 40 и т.д.) до тех пор, пока не получим объем оставшегося бруска менее 1000 см³: \[V_{остатка} = 104000 - n \cdot 2400 < 1000\] При n = 42, V_остатка = 104000 - 42 \cdot 2400 = 3200 > 1000 При n = 43, V_остатка = 104000 - 43 \cdot 2400 = 800 < 1000\] Но в условии сказано, что отпилили несколько дощечек, поэтому надо искать вариант, при котором объем отпиленных дощечек будет больше объема одной дощечки.
10. Шаг 10: Вычисляем, сколько дощечек надо отпилить, если отпилили объем 104000 - 1000 = 103000: \[\frac{103000}{2400} = 42.9166...\]
11. Шаг 11: Ближайшее целое число к 42.9166... - это 43. Проверяем, сколько дощечек надо отпилить, если отпилили 43 дощечки: \[V = 43 \cdot 2400 = 103200 \text{ см}^3\] Тогда объем оставшегося бруска будет: \[104000 - 103200 = 800 \text{ см}^3\] Таким образом, надо отпилить 43 дощечки.

Ответ: 21 дощечка