4. Тип 4 № 51 і Арифметическая прогрессия 5, 8, 11... и геометрическая прогрессия 4, 8, 16... имеют по 50 членов. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

Обозначим члены арифметической прогрессии как aₙ, а члены геометрической прогрессии как bₙ.

Арифметическая прогрессия задана первым членом a₁ = 5 и разностью d = 3. Значит, aₙ = 5 + 3(n - 1).

Геометрическая прогрессия задана первым членом b₁ = 4 и знаменателем q = 2. Значит, bₙ = 4 * 2^(n - 1).

Нам нужно найти такие n и m, что aₙ = bₘ, то есть

\[5 + 3(n - 1) = 4 \cdot 2^{m - 1}.\]

Рассмотрим первые несколько членов обеих прогрессий:

Арифметическая прогрессия: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, ...

Геометрическая прогрессия: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, ...

Заметим, что 8 является общим членом обеих прогрессий. Найдем, при каких n и m это происходит:

Для арифметической прогрессии: 5 + 3(n - 1) = 8

3(n - 1) = 3

n - 1 = 1

n = 2

Для геометрической прогрессии: 4 * 2^(m - 1) = 8

2^(m - 1) = 2

m - 1 = 1

m = 2

Таким образом, второй член обеих прогрессий равен 8.

Теперь нужно проверить, есть ли другие общие члены в пределах первых 50 членов обеих прогрессий.

Заметим, что члены геометрической прогрессии растут гораздо быстрее, чем члены арифметической прогрессии. Поэтому, начиная с некоторого момента, члены геометрической прогрессии будут значительно больше членов арифметической прогрессии.

Проверим несколько членов арифметической прогрессии, чтобы убедиться, что больше общих членов нет:

5 + 3(n - 1) = 4 * 2^(m - 1)

Рассмотрим случай, когда m = 3: 4 * 2^(3 - 1) = 4 * 4 = 16. Чтобы найти соответствующее n, решим уравнение:

5 + 3(n - 1) = 16

3(n - 1) = 11

n - 1 = 11/3

n = 14/3, что не является целым числом.

Рассмотрим случай, когда m = 4: 4 * 2^(4 - 1) = 4 * 8 = 32. Чтобы найти соответствующее n, решим уравнение:

5 + 3(n - 1) = 32

3(n - 1) = 27

n - 1 = 9

n = 10

Таким образом, десятый член арифметической прогрессии равен 32, и четвертый член геометрической прогрессии тоже равен 32.

Теперь рассмотрим случай, когда m = 5: 4 * 2^(5 - 1) = 4 * 16 = 64. Чтобы найти соответствующее n, решим уравнение:

5 + 3(n - 1) = 64

3(n - 1) = 59

n - 1 = 59/3

n = 62/3, что не является целым числом.

Далее члены геометрической прогрессии будут только расти.

Таким образом, есть только два общих члена в обеих прогрессиях: 8 и 32.

Ответ: 2