15. Тип 15 № 4205 i Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со ско- ростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомоби- лем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим скорость первого автомобиля за $$v$$ км/ч, а расстояние между пунктами А и В за $$S$$ км.

Время, которое первый автомобиль затратил на весь путь:

$$t = \frac{S}{v}$$

Второй автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути со скоростью $$(v + 9)$$ км/ч. Время, которое второй автомобиль затратил на весь путь:

$$\frac{S}{2 \cdot 30} + \frac{S}{2 \cdot (v+9)} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2v + 18}$$

Так как оба автомобиля прибыли одновременно, то их времена в пути равны:

$$\frac{S}{v} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2v + 18}$$

Разделим обе части уравнения на $$S$$:

$$\frac{1}{v} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2v + 18}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{1}{v} = \frac{2v + 18 + 60}{60(2v + 18)}$$ $$\frac{1}{v} = \frac{2v + 78}{120v + 1080}$$

Перемножим крест-накрест:

$$120v + 1080 = v(2v + 78)$$ $$120v + 1080 = 2v^2 + 78v$$

Приведем к квадратному уравнению:

$$2v^2 - 42v - 1080 = 0$$

Разделим на 2:

$$v^2 - 21v - 540 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601$$ $$v_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 51}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$v_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 51}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: 36