16 Тип 16 № 348491 i Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Обозначим точку пересечения касательных через К.  Угол между касательными равен углу АКВ, следовательно, $$ \angle AKB = 82 \deg $$.

$$OA$$ и $$OB$$ - радиусы, проведённые в точки касания, поэтому $$OA \perp AK$$ и $$OB \perp BK$$. Значит, $$\angle OAK = \angle OBK = 90 \deg $$.

Рассмотрим четырёхугольник $$AOBK$$. Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов, следовательно,

$$ \angle AOB = 360 \deg - (\angle OAK + \angle OBK + \angle AKB) = 360 \deg - (90 \deg + 90 \deg + 82 \deg) = 98 \deg $$.

В $$ \triangle AOB $$ стороны $$OA$$ и $$OB$$ являются радиусами окружности, значит $$OA = OB$$, то есть треугольник равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: $$ \angle OAB = \angle OBA $$.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов, следовательно,

$$ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180 \deg - \angle AOB}{2} = \frac{180 \deg - 98 \deg}{2} = \frac{82 \deg}{2} = 41 \deg $$.

Ответ: 41.