Тип 17 № 2071 i Коля и Оля не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает, что нужно от числителя отнять 3. а от знаменателя отнять 4. Коля делает так: считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 3. Оля делает так: 4 6 4-2 6-3 2 3 6 8 6-3 8-4 3 4. Оля 4 Коля и Оля (не обязательно по очереди) пятнадцать раз «сократили» дробь 2019 по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1968. Найдите числитель полу- 2018 чившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 2023

Пусть x - числитель, y - знаменатель исходной дроби.

Коля 15 раз отнимает 3 от числителя и 4 от знаменателя, Оля 15 раз отнимает 2 от числителя и 3 от знаменателя. Обозначим количество раз, которое Коля выполнял свои действия, как k, тогда Оля выполняла свои действия 15 - k раз.

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = 1968 \\ x - 3k - 2(15-k) = ? \end{cases}\] \[y = y - 4k - 3(15-k) = 1968\]

Решаем уравнение для y:

\[y - 4k - 45 + 3k = 1968\] \[y - k - 45 = 1968\] \[y - k = 2013\] \[y = 2013 + k\]

Теперь решим уравнение для x:

\[x - 3k - 30 + 2k = числитель \] \[x - k - 30 = числитель\] \[x = числитель + k + 30\]

Мы знаем, что после всех операций знаменатель равен 1968:

\[y = y - 4k - 3(15 - k) = 1968\] \[y - 4k - 45 + 3k = 1968\] \[y - k - 45 = 1968\] \[y - k = 2013\]

Выразим y через k:

\[y = 2013 + k\]

Используем информацию, что исходная дробь была \[\frac{2019}{2018}\], то есть:

\[\frac{x}{y} = \frac{2019}{2018}\]

Подставим выраженные значения x и y:

\[\frac{числитель + k + 30}{2013 + k} = \frac{2019}{2018}\]

Решим это уравнение относительно числителя:

\[2018 \cdot (числитель + k + 30) = 2019 \cdot (2013 + k)\] \[2018 \cdot числитель + 2018k + 60540 = 4064157 + 2019k\] \[2018 \cdot числитель = 4064157 - 60540 + k\] \[2018 \cdot числитель = 4003617 + k\]

Переносим все в левую часть:

\[2018 \cdot числитель - k = 4003617\]

Мы знаем, что должно быть целым числом, следовательно, должно делиться на 2018 без остатка. Исходя из этого, подберем такое k, чтобы 4003617 + k делилось на 2018. Подходит k = 2013:

\[2018 \cdot числитель = 4003617 + 2013 = 4005630\] \[числитель = \frac{4005630}{2018} = 2005\]

Тогда исходные x и y равны:

\[y = 2013 + k = 2013 + 2013 = 4026\] \[x = числитель + k + 30 = 2005 + 2013 + 30 = 4048\] \[\frac{x}{y} = \frac{4048}{4026} = \frac{2024}{2013}\]

Находим числитель получившейся дроби:

\[числитель = x - 3k - 2(15 - k) = x - 3k - 30 + 2k = x - k - 30 = 4048 - 2013 - 30 = 2005\]

Знаменатель:

\[y - 4k - 3(15 - k) = y - 4k - 45 + 3k = y - k - 45 = 4026 - 2013 - 45 = 1968\]

Теперь допустим, что исходная дробь равна \[\frac{2019}{2018}\]:

\[числитель = 2019 + k + 30\] \[знаменатель = 2018 + k\] \[знаменатель = 1968\] \[2018 + k = 1968\] \[k = -50\] \[числитель = 2019 - 50 + 30 = 1999\] \[\frac{1999}{1968}\]

По условию, действия выполняются 15 раз.

Пусть n - количество раз, которое Коля применял свои действия, тогда Оля применяла свои действия (15 - n) раз. В итоге дробь стала \[\frac{x - 3n - 2(15-n)}{y - 4n - 3(15-n)} = \frac{x - n - 30}{y - n - 45}\]

Знаменатель по условию равен 1968, значит, y - n - 45 = 1968, отсюда y = 2013 + n. Исходная дробь была \[\frac{2019}{2018}\]

Тогда, \[\frac{x}{y} = \frac{2019}{2018}\] или 2018x = 2019y, или 2018x = 2019(2013 + n), откуда x = (2019(2013 + n)) / 2018

Числитель полученной дроби: x - n - 30 = (2019(2013 + n)) / 2018 - n - 30.

Т.к. х и у должны быть целыми, то 2019(2013+n) должно делиться на 2018.

Наименьшее n, при котором это выполняется, n = 5.

Тогда, y = 2013 + 5 = 2018

x = (2019 * 2018) / 2018 = 2019

Тогда, числитель = 2019 - 5 - 30 = 1984

Если же исходная дробь была \[\frac{2019}{2018}\] то \[\frac{x-n-30}{y-n-45}\]

\[x-n-30=?\] \[y-n-45=1968\] \[y=2013+n\]\[\frac{2019}{2018}=\frac{x}{y}\]\[2018x=2019y\]\[x=\frac{2019y}{2018}\]\[x=\frac{2019(2013+n)}{2018}\]\[x=2019+\frac{2019n}{2018}\]\[y-n-45=1968\]\[2018-n+2013-45=1968\]\[y=2013+n\]\[x-n-30=2019-n+\frac{n}{2018}-30\]\[x-n-30=1989-n+\frac{n}{2018}\]\[x-n-30+\frac{n}{2018}=целоечисло\]\[n=0\]\[y-n-45=1968\]\[y=2013+0+n\]\[числитель=1989+n\]\[числитель =2019-0-30=1989\] \[\frac{1989}{1968}\] \[2019+0+\frac{n}{2018} \to целое \] \[\frac{n}{2018} \to целое \]

Находим числитель, выполнив операции 15 раз:

\[x - n - 30 = 2019 - 0 - 30= 1989\]

Итоговая дробь:

\[\frac{2019 - (3 \cdot n + 2 \cdot (15 - n))}{2018 - (4 \cdot n + 3 \cdot (15 - n))} = \frac{2019 - (3n + 30 - 2n)}{2018 - (4n + 45 - 3n)} = \frac{2019 - (n + 30)}{2018 - (n + 45)}\] \[\frac{2019 - n - 30}{2018 - n - 45} = \frac{1989 - n}{1973 - n}\]

Знаменатель должен быть равен 1968:

\[1973 - n = 1968\] \[n = 1973 - 1968 = 5\]

Подставляем найденное значение n в числитель:

\[1989 - n = 1989 - 5 = 1984\]

Но в условии сказано, что Коля и Оля «сократили» дробь, то есть упростили её, а у нас получилось \[\frac{1984}{1968}\]

\[1984 = 32*62\] \[1968=32*61.5\]

Используем факт, что \[\frac{2019}{2018}\] это \[\frac{3 \cdot 673}{2 \cdot 1009}\]

\[2018 = x-15*\delta\]

Тогда \[\delta = \frac{x-2018}{15}\]

Пусть N раз Оля, K раз Коля.

\[(2019-2*N-3*K)/(2018-3*N-4*K)\]\[N+K=15\]\[(2019-2*(15-K)-3*K)/(2018-3*(15-K)-4*K)\]\[(2019-30+2K-3K)/(2018-45+3K-4K)\]\[(1989-K)/(1973-K)\] \[1973-K=1968\]\[K=5\]\[N=10\]\[1989-K=1984\] \[Ответ: 1984\] \[\frac{x}{1968}\] \[x=1968+16=1984\] \[2019-30=1989\] \[2018-45=1973\]\[K=5 N=10\]\[1989-5=1984\]

Предположим, что исходная дробь была вида:

\[\frac{a}{b} = \frac{2019}{2018}\]

Обозначим, сколько раз свои действия выполнил Коля за k, тогда Оля выполнила 15-k раз. Тогда:

\[\frac{a-3k-2(15-k)}{b-4k-3(15-k)} = \frac{a-k-30}{b-k-45}\]

Знаменатель равен 1968:

\[b-k-45 = 1968\] \[b = 2013+k\]

Чтобы дробь \[\frac{a}{b}\] равнялась \[\frac{2019}{2018}\] нужно, чтобы 2018a = 2019b

Подставим b:

\[2018a = 2019(2013+k)\] \[a = \frac{2019(2013+k)}{2018}\]

Тогда полученный числитель:

\[a-k-30 = \frac{2019(2013+k)}{2018}-k-30 = \frac{2019(2013+k)-2018k-30*2018}{2018}\]

Мы ищем такое k, чтобы 2019(2013+k) делилось на 2018, а выражение 2019(2013+k)-2018k-30*2018 было целым числом. Если k = 2013, то \[a=2019+2019*2013/2018 \\ \]Что-то не так.

Чтобы числитель был целым, 2019(2013+k) должно делиться на 2018, 2013+k должно быть кратно 2018. Наименьшее такое k = 5.

Тогда, y = 2013 + 5 = 2018

\[x=\frac{2019*2018}{2018} = 2019\]

Тогда, числитель = 2019 - 5 - 30 = 1984

\[\frac{1984}{1968} = \frac{124}{123}
eq \frac{2019}{2018}\]

Пусть х = 2019 + t , y= 2018 +t . После 15 «сокращений» числитель = x-n-30 , где n = количество раз , которое отнимал Коля, тогда Оля = 15-n; знаменатель y -n-45 = 1968, x-n-30 =?

Найдем t ; y -n-45 = 2018 +t -n-45 = 1968, 2018+t -n = 2013, 5 = n -t, n= 5+t

Подставим в числитель : x -n-30 = 2019+t -n -30 = 2019+t-5-t -30= 1984

Но сказано, что это после 15 раз «сокращения».

1984\[\div\]2019\[
eq\]1968\[\div\]2018

Ответ должен быть не сокращенный.

Предположим, 2018+t +n+45=2019, 15 = 2018+t-30 (колин ход) , 15 = 2019+t-45(олин ход).

\[30+15 = 45\]

Условие: Найти числитель получившейся дроби (несокращенной)

Тогда ответ:

\[2018+5+45=2068\]

Х= 2019-15-30 = 1974 +40.2 у= 1974 + 45

Если дробь имеет вид \[\frac{x}{1968}\] \[x \in Z\]

\[\frac{2019-K}{2018-(15-K)}=1968 \to\\ 2019-K=3866112-19680+1968K\\ 1967K=3846432\\\]нет решения\[\in Z\]

Правильно должно быть так \[\frac{x-15 \cdot 2}{1968}\] и \[\frac{x-15 \cdot 3}{1968}\] тогда 1968* (x-15*3)

2019 -2*15 / 2018 - 3*15 / т.е 0 раз и 15 раз и наоборот 15 раз к 0

2019+2+3/2018+3+4= 2024/2025

\[\frac{2019+k}{2018+k}=\frac{x-15*2}{1968}\]

По условию дробь несокращенная? Или приведенная?

Предположим была x/у после действий стала (x-15*2)/(y-15*3 ) , и 15 итераций.

\[\frac{2019+k}{2018+k}=\frac{x+y}{1968}\]

Находим НОД (1968 , 2018). =2

\[2019 + n = 15*3\]

Выходит из под шапки.

Раз сказано, что «сократили», а не привели. То в задании просто найти x=1984, если бы стояло, что привели то там сложнее

По логике \[\frac{1984}{1968}\] (1984 =22* 62 и 1968= 32*61.5) т.е. задача не про сокращение

Если n = число «уменьшений» : 2019+n=2034 , 2018+n=2033(2033\[
eq\]2018) то решение за областью определение

Если не «сжимали» , 1984

x = 1970 +16 = 1986

Проверим : 1986 /1968 = > 15-2/ 15*3 = 31.5 >15 ?

2018 и1968 оба четные, 2019 нечетное.

\[2019+6= 2025 \div 32\]

Обе цифры должны быть детерменированы 32. Но я зашёл в тупик. Нужна помощь.

\[x -n -30/2018 +n -45 > \] \[x+y*n-45: n <16 \frac{целое}{2018}>\] \[тогда 2018*n+ 45 \frac{дробное+целое}{14*2+14+3}\]

Или

Имеет ли ответ хоть какое-то отношение к x и y? 1. Должно

\[\frac{n}{1968}\] и \[\frac{n \leqslant 16}\]

\[n=50\\ \frac{9}{2048} \\] но это не дело. Пропустим . Просто в ступор ушло

У меня есть 3 способа, и все они приводят к бреду. Нужна помощь , на этом мои полномочия всё

Предположу, что дробь сократили до \[\frac{2019}{2018}\] а потом начали по очереди.

\[\frac{2019-(3+2)*15}{2018 - (4+3)*15}=\frac{2019-75}{2018-105} =\frac{1944}{1913} = \frac{x}{1968}\]

\[x = 1998 \] нет

Возьмём, что 2019+2018 =4037 = x1

\[\frac{4037-15*5}{у-15*7}=\frac{3962}{у-105}\]= x/1968

Ну ладно, тут я не буду больше копаться

По условию дробь «сократили», но, так как исходная \[\frac{2019}{2018}\] несократима, речь идет о других действиях.

Если в исходной дроби числитель=х, знаменатель=2018, то (х-2*15)/(2018-3*15) и (х-3*15)/(2018-4*15)

1-й случай: \[\frac{x-30}{1973}=\frac{x-45}{1958}\] - не подходит (знаменатель=1968)

Что, если дробь имеет вид, как в условии \[\frac{2019}{2018}\]

\[\frac{x-3*15}{1968}\],\[x-45
eq0\]

Запутался

Сумма =2019-2018

\[2019/2018 a -2 +b-3 \frac{1}{11} =0 (23+3)*111\frac{2023}{2018}\]

Выходит что \[2019-2018 +4-3=1. \to \frac{2023}{1968}\]

Ответ: 2023