8 Тип 7 № 8026 і На клетчатой бумаге с раз- мером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите сумму углов АВС и АСВ. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник ABC. Заметим, что его можно вписать в прямоугольник со сторонами 3 и 4 клетки.

Сумма углов треугольника равна 180°. Для того чтобы найти сумму углов \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \), достаточно из 180° вычесть угол \( \angle BAC \).

Угол \( \angle BAC \) можно найти как разность 180° и двух углов, образованных сторонами прямоугольника и сторонами треугольника АВС. Обозначим эти углы как \( \alpha \) и \( \beta \).

Заметим, что \( tg(\alpha) = \frac{1}{3} \) и \( tg(\beta) = \frac{1}{4} \).

Углы \( \alpha \) и \( \beta \) не являются табличными, поэтому воспользуемся формулой для тангенса суммы углов:

$$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg(\alpha) + tg(\beta)}{1 - tg(\alpha) \cdot tg(\beta)} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{7}{12}}{1 - \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 7 и 11. Найдем угол, тангенс которого равен \( \frac{7}{11} \). Этот угол также не табличный, поэтому придется оставить его в таком виде.

Однако, есть более простой способ.

Проведем высоту из вершины B к основанию AC. Получим прямоугольный треугольник с прямым углом, катетами, равными 3 и 4, и гипотенузой, равной 5.

Рассмотрим треугольники АВН и ВСН. \( \angle BAH = arctg(\frac{3}{4}) \), \( \angle BCH = arctg(\frac{4}{3}) \).

Сумма углов \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \) равна 90°, так как сумма углов треугольника равна 180°, а угол ВАС равен 90°.

Сумма углов ABC и ACB равна 180 - 90 = 90.

Ответ: 90