8. Тип 7 № 7946 i На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС.

Для решения этой задачи нужно определить координаты точек A, B и C на клетчатой бумаге, а затем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами.

Пусть точка A имеет координаты (1,2), B имеет координаты (4,4), и C имеет координаты (2,0). Тогда векторы BA и BC будут иметь координаты:

BA = A - B = (1-4, 2-4) = (-3, -2)

BC = C - B = (2-4, 0-4) = (-2, -4)

Теперь найдем косинус угла ABC, используя формулу:

$$cos(ABC) = \frac{BA \cdot BC}{|BA| \cdot |BC|}$$

Скалярное произведение BA и BC:

$$BA \cdot BC = (-3) \cdot (-2) + (-2) \cdot (-4) = 6 + 8 = 14$$

Длина вектора BA:

$$|BA| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

Длина вектора BC:

$$|BC| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Теперь найдем косинус угла ABC:

$$cos(ABC) = \frac{14}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{65}}$$

Чтобы найти угол ABC, нужно взять арккосинус этого значения:

$$ABC = arccos(\frac{7}{\sqrt{65}})$$

Приблизительно:

$$ABC \approx arccos(0.868) \approx 29.8 \degree$$

Округлим до ближайшего целого числа:

$$ABC \approx 30 \degree$$