Тип 7 № 8122 i На клетчатой бумаге с разме- ром клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС.

Найдем градусную меру угла ABC.

1. По координатам точек определим длины сторон треугольника ABC.
2. AB = √((2-1)^2 + (2-4)^2) = √(1+4) = √5
3. BC = √((2-3)^2 + (4-3)^2) = √(1+1) = √2
4. AC = √((1-3)^2 + (2-3)^2) = √(4+1) = √5
5. Треугольник ABC - равнобедренный, так как AB = AC = √5
6. Воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти угол B. $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(∠B)$$ $$5 = 5 + 2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot cos(∠B)$$ $$0 = 2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot cos(∠B)$$ $$2 \cdot \sqrt{10} \cdot cos(∠B) = 2$$ $$cos(∠B) = \frac{2}{2 \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$ $$∠B = arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})$$
7. Найдем приближенное значение угла B. $$cos(∠B) ≈ \frac{1}{3.16} ≈ 0.316$$ $$∠B ≈ 71.57°$$

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1, соединим точки A и C.

      A
      .
     / \
    /   \
   /     \
  /       \
 B---------C

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком AC, горизонтальной и вертикальной линиями. Катеты этого прямоугольного треугольника равны 2 и 1.

Угол ABC является тупым углом. Тангенс угла между отрезком BC и продолжением отрезка AB равен 1/2 = 0.5. Это угол приблизительно равен 26.5 градусов. Тогда угол ABC равен 90 + 26.5 = 116.5 градусов.

Так как тангенс угла ABC равен 1/2, угол ABC равен arctg(0.5) = 26.565 градусов. Так как точка B является вершиной угла между A и C, градусная мера угла ABC равна 45 градусам.

Ответ: 45