Тип 11 № 12978 i На координатной плоскости даны точки А и прямая 1 (см. рис.). Определите сумму ко- ординат точки, симметричной точке А от- носительно прямой 1.

Ответ: -2

• По графику определяем координаты точки A: A(3; 1).
• Прямая l проходит через точки (0; 2) и (2; 0). Уравнение прямой имеет вид y = -x + 2.
• Чтобы найти точку, симметричную A относительно прямой l, можно воспользоваться формулой для координат симметричной точки:

Пусть точка A'(x'; y') симметрична точке A(x; y) относительно прямой ax + by + c = 0. Тогда координаты x' и y' находятся из системы уравнений:

\[\frac{x'-x}{a} = \frac{y'-y}{b} = -2 \frac{ax+by+c}{a^2+b^2}\]

В нашем случае уравнение прямой l имеет вид x + y - 2 = 0, поэтому a = 1, b = 1, c = -2. Координаты точки A(3; 1).

Применим формулу:

\[\frac{x'-3}{1} = \frac{y'-1}{1} = -2 \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 - 2}{1^2+1^2}\] \[\frac{x'-3}{1} = \frac{y'-1}{1} = -2 \frac{2}{2} = -2\]

Теперь найдем координаты точки A'(x'; y'):

x' - 3 = -2 => x' = 1

y' - 1 = -2 => y' = -1

Таким образом, координаты точки A'(-1; 1).

• Вычисляем сумму координат точки A': -1 + 1 = 0.

Ответ: 0