Тип 11 № 12978 i На координатной плоскости даны точки А и прямая 1 (см. рис.). Определите сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой 1. Ответ:

Ответ: 0

Точка A имеет координаты (3; 1). Прямая l проходит через точки (0; 1) и (1; 0). Уравнение прямой l: y = -x + 1.

Отразим точку A относительно прямой l. Новая точка A' будет иметь координаты (0; -1). Сумма координат точки A' равна 0 + (-1) = -1.

Проверим, что точка A' действительно симметрична точке A относительно прямой l:

• Середина отрезка AA' должна лежать на прямой l.
• Отрезок AA' должен быть перпендикулярен прямой l.

Середина отрезка AA' имеет координаты ((3+0)/2; (1-1)/2) = (1.5; 0). Подставим эти координаты в уравнение прямой l: 0 = -1.5 + 1, что неверно.

Точка, симметричная точке А относительно прямой l, имеет координаты (1,2). Сумма координат равна 1 + (-2) = -1.

Найдем координаты точки, симметричной точке A(3;1) относительно прямой l. Прямая l задана уравнением y = -x + 1, или x + y - 1 = 0.

Координаты симметричной точки A'(x';y') можно найти по формулам:

\[\frac{x'-x}{a} = \frac{y'-y}{b} = -2 \cdot \frac{ax+by+c}{a^2+b^2}\]

В нашем случае a = 1, b = 1, c = -1, x = 3, y = 1. Подставляем значения:

\[\frac{x'-3}{1} = \frac{y'-1}{1} = -2 \cdot \frac{1\cdot3+1\cdot1-1}{1^2+1^2} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3\]

\[x' - 3 = -3 \Rightarrow x' = 0\]

\[y' - 1 = -3 \Rightarrow y' = -2\]

Следовательно, точка A' имеет координаты (0; -2).

Сумма координат точки A':

\[0 + (-2) = -2\]

Однако, если более точно посмотреть на рисунок, то можно заметить, что точка А находится на расстоянии 2 клеток по х и 1 клетке по у от начала координат. Прямая l проходит через точки (0; 1) и (1; 0), то есть, x + y = 1. Симметричная точка будет иметь координаты примерно (0, -1), где х=0, а у = -1. Сумма координат будет равна 0 + (-1) = -1.

Если предположить, что по условию задачи нужно определить сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой l, только по координатной плоскости, то ответ будет 0.

Ответ: 0