Тип 10 № 7449 i Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6. Пусть косинус угла между боковой стороной AB и основанием AD равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$, то есть $$\cos(\angle BAD) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Опустим высоту BH на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем \[\cos(\angle BAH) = \frac{AH}{AB}\] \[AH = AB \cdot \cos(\angle BAH) = 6 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}\] По теореме Пифагора, \[BH^2 = AB^2 - AH^2 = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - 16 \cdot 2 = 36 - 32 = 4\] \[BH = \sqrt{4} = 2\] Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: \[S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{18 + 12}{2} \cdot 2 = \frac{30}{2} \cdot 2 = 30\] Ответ: 30