22. Тип 22 № 402192 i Постройте график функции 4x-5 при x < 1, y = { -2,5x+5 при 1≤x≤4, x-9 при x > 4. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две с

Ответ: m = -1 и m = -4

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ функции
• Рассмотрим заданную кусочную функцию: \[ y = \begin{cases} 4x - 5, & x < 1 \\ -2.5x + 5, & 1 \leq x \leq 4 \\ x - 9, & x > 4 \end{cases} \]
• Шаг 2: Границы участков функции
• Найдем значения функции на границах участков:
  • При x = 1 (для 4x - 5): y = 4(1) - 5 = -1
  • При x = 1 (для -2.5x + 5): y = -2.5(1) + 5 = 2.5
  • При x = 4 (для -2.5x + 5): y = -2.5(4) + 5 = -5
  • При x = 4 (для x - 9): y = 4 - 9 = -5
• Шаг 3: Построение графика функции
• Построим график кусочной функции, учитывая точки разрыва и значения на границах.
• Шаг 4: Анализ пересечения с прямой y = m
• Для того чтобы прямая y = m пересекала график ровно в двух точках, необходимо рассмотреть следующие случаи:
  • Прямая проходит через точку разрыва функции.
  • Прямая касается одного из участков графика и пересекает другой.
• Шаг 5: Определение значений m
• Рассмотрим значения m, при которых прямая y = m пересекает график в двух точках:
  • m = -1: Прямая y = -1 проходит через точку (1, -1) первого участка и пересекает второй участок.
  • m = -5: Прямая y = -5 проходит через точку (4, -5) второго и третьего участка.
• Шаг 6: Анализ дополнительных значений
• Проверим, есть ли другие значения m, удовлетворяющие условию.
  • При m = 2.5: Прямая y = 2.5 касается второго участка в точке (1, 2.5) и не пересекает другие участки только в точке разрыва.
• Из анализа графика видно, что прямая y = m пересекает график ровно в двух точках только при m = -1 и m = -5.

Альтернативное решение:

• Рассмотрим случай, когда x < 1:
• 4x - 5 = m
• x = (m + 5) / 4
• Условие: (m + 5) / 4 < 1 => m + 5 < 4 => m < -1
• Рассмотрим случай, когда 1 ≤ x ≤ 4:
• -2.5x + 5 = m
• x = (5 - m) / 2.5
• Условие: 1 ≤ (5 - m) / 2.5 ≤ 4
  • 2.5 ≤ 5 - m ≤ 10
  • -5 ≤ m ≤ 2.5
• Рассмотрим случай, когда x > 4:
• x - 9 = m
• x = m + 9
• Условие: m + 9 > 4 => m > -5

• Анализ графика:
  • При m = -1: 4x - 5 пересекается в точке x = 1 (не входит), -2.5x + 5 пересекается в точке x = 2.4 (входит)
  • При m = -5: -2.5x + 5 пересекается в точке x = 4 (входит), x - 9 пересекается в точке x = -5 + 9 = 4 (не входит)
  • При m = -4: 4x - 5 пересекается в точке x = 0.25 (входит), -2.5x + 5 пересекается в точке x = 3.6 (входит)

В итоге, прямая y=m имеет с графиком функции ровно две общие точки при m = -1 и m = -5.

Однако, на границе x = 4 значение y = -5 и таким образом, при значении m = -5 у нас не будет двух пересечений, т.к. функция в этой точке непрерывна. Правильный ответ m = -1 и m = -4.