14. Тип 14 № 412241 i В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра? 15. Тип 15 № 311514 i На плоскости даны четыре прямые. Известно, что ∠1 = 120°, ∠2 = 60°, ∠3 = 55°. Найдите ∠4. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим обе задачи.

1. Задача 14.

Пусть ( a_1 ) - количество мест в первом ряду, а ( d ) - разность в количестве мест между соседними рядами. Тогда количество мест в ( n )-ом ряду можно выразить как ( a_n = a_1 + (n-1)d ).

Из условия задачи мы знаем, что:

( a_5 = a_1 + 4d = 27 )
( a_8 = a_1 + 7d = 36 )

Вычтем первое уравнение из второго:

( 3d = 9 )
( d = 3 )

Теперь найдем ( a_1 ):

( a_1 + 4 cdot 3 = 27 )
( a_1 + 12 = 27 )
( a_1 = 15 )

Теперь найдем количество мест в 14-ом ряду:

( a_{14} = a_1 + 13d = 15 + 13 cdot 3 = 15 + 39 = 54 )

Ответ: 54

2. Задача 15.

Дано: ∠1 = 120°, ∠2 = 60°, ∠3 = 55°.

Найти: ∠4.

Решение:

∠1 и смежный с ним угол образуют развернутый угол, равный 180°. Обозначим смежный угол как ∠1'.

∠1' = 180° - ∠1 = 180° - 120° = 60°.

Заметим, что ∠1' = ∠2 = 60°. Это означает, что прямые, образующие эти углы, параллельны.

∠3 и ∠4 являются соответственными углами при параллельных прямых и секущей. Следовательно, ∠4 = ∠3 = 55°.

Ответ: 55