5. Тип 5 № 308 i В параллелограмме АВСD диагональ АС в 2 раза больше сто- роны АВ и ∠ACD = 169°. Найдите меньший угол между диа- гоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть AB = x, тогда AC = 2x. Обозначим угол между диагоналями как α.

В параллелограмме ABCD, AB = CD = x и AC = 2x. Также ∠ACD = 169°.

Рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем две стороны и угол между ними. Можем найти сторону AD, используя теорему косинусов:

AD² = AC² + CD² - 2 * AC * CD * cos(∠ACD)

AD² = (2x)² + x² - 2 * (2x) * x * cos(169°)

AD² = 4x² + x² - 4x² * cos(169°)

AD² = 5x² - 4x² * cos(169°)

AD² = x²(5 - 4 * cos(169°))

AD = x * √(5 - 4 * cos(169°))

Так как cos(169°) ≈ -0.9816, то

AD ≈ x * √(5 - 4 * (-0.9816)) ≈ x * √(5 + 3.9264) ≈ x * √8.9264 ≈ 2.9877x

Теперь рассмотрим треугольник, образованный диагоналями параллелограмма. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC = x (так как AC = 2x) и пусть угол между диагоналями равен α. Рассмотрим треугольник AOD. Мы знаем AD ≈ 2.9877x, AO = x, OD = ?

Так как диагонали параллелограмма делятся пополам в точке пересечения, мы не можем найти OD напрямую. Но мы знаем, что ∠ACD = 169°. Следовательно, ∠CAB = 169° (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Также ∠BAC = ∠ACD = 169°.

В треугольнике ABC, AB = x, AC = 2x, и ∠BAC = 169°. Используем теорему косинусов для BC:

BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(∠BAC)

BC² = x² + (2x)² - 2 * x * (2x) * cos(169°)

BC² = x² + 4x² - 4x² * cos(169°)

BC² = 5x² - 4x² * cos(169°)

BC ≈ x * √(5 - 4 * (-0.9816)) ≈ 2.9877x, то есть BC = AD

Пусть α - угол между диагоналями. Тогда смежный с ним угол равен 180° - α.

Используем тот факт, что сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180°. Если ∠ACD = 169°, то ∠ADC = 180° - ∠ACD = 180° - 169° = 11°.

Тогда угол между диагональю AC и стороной AD равен 11°.

Угол между диагоналями может быть острым или тупым. Меньший угол будет острым.

Меньший угол между диагоналями равен 11°.

Ответ: 11