18. Тип 17 № 7773 i В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Пусть x — количество мышек, приходивших в первую ночь, тогда каждая мышка съела \(\frac{10}{x}\) головок сыра.
2. Во вторую ночь пришли 11 мышек, и каждая съела в два раза меньше, чем в первую ночь, то есть \(\frac{10}{2x}\) = \(\frac{5}{x}\) головок сыра.
3. Пусть y — количество головок сыра, которое было изначально в погребе. Тогда после первой ночи осталось y - 10 головок сыра.
4. Составим уравнение, отражающее, что 11 мышек съели оставшийся сыр во вторую ночь: $$11 \times \frac{5}{x} = y - 10$$ $$\frac{55}{x} = y - 10$$
5. Мы знаем, что x — это количество мышек, и оно должно быть целым числом. Также, x должно быть делителем числа 55 (так как \(\frac{55}{x}\) должно быть целым числом). Делители числа 55: 1, 5, 11, 55. Очевидно, что мышек не может быть 1, так как тогда они бы не съели 10 головок сыра.
6. Проверим варианты:
   • Если x = 5, то \(\frac{55}{5}\) = 11 = y - 10, следовательно, y = 21.
   • Если x = 11, то \(\frac{55}{11}\) = 5 = y - 10, следовательно, y = 15.
   • Если x = 55, то \(\frac{55}{55}\) = 1 = y - 10, следовательно, y = 11. Но это невозможно, так как изначально сыра должно быть больше 10 головок.
7. Проверим, подходит ли условие задачи для каждого из найденных значений y:
   • Если y = 21, то в первую ночь пришли 5 мышек и съели по 2 головки сыра каждая (10/5 = 2). Во вторую ночь пришли 11 мышек и съели оставшийся 21 - 10 = 11 головок сыра, то есть каждая съела по 1 головке (11/11 = 1), что в два раза меньше, чем в первую ночь.
   • Если y = 15, то в первую ночь пришли 11 мышек и съели по \(\frac{10}{11}\) головок сыра каждая. Во вторую ночь пришли 11 мышек и съели оставшиеся 15 - 10 = 5 головок сыра, то есть каждая съела по \(\frac{5}{11}\) головок сыра, что в два раза меньше, чем в первую ночь.
8. Оба варианта y = 21 и y = 15 подходят под условия задачи.

Ответ: 21 или 15 головок сыра.