Тип 8 № 12030 i В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 18°. Найдите градусную меру угла APC.

Давайте решим эту задачу по шагам.

1. Анализ условия:

Треугольник ABC – прямоугольный (угол C = 90°). Стороны AC и BC равны, значит, треугольник ABC – равнобедренный. Точка P лежит на стороне AB. Угол ACP = 18°.

2. Нахождение угла CAB:

Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, углы при основании (углы CAB и CBA) равны по 45°. $$ \angle CAB = \angle CBA = 45^{\circ} $$

3. Нахождение угла BCP:

Угол ACB = 90°, угол ACP = 18°, следовательно, угол BCP равен: $$ \angle BCP = \angle ACB - \angle ACP = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ} $$

4. Нахождение угла CBP:

Угол CBP – это то же самое, что угол CBA, то есть 45°. $$ \angle CBP = \angle CBA = 45^{\circ} $$

5. Нахождение угла BPC:

В треугольнике BCP сумма углов равна 180°. Значит, угол BPC равен: $$ \angle BPC = 180^{\circ} - \angle BCP - \angle CBP = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 45^{\circ} = 63^{\circ} $$

6. Нахождение угла APC:

Углы APC и BPC – смежные, а значит, их сумма равна 180°. $$ \angle APC = 180^{\circ} - \angle BPC = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} $$

Ответ: 117°