18 Тип 18 № 4013 i В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АY, если AX = 20.

Ответ: AY = 20

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, значит, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = 75°. Тогда ∠ABC = 180° - 75° - 75° = 30°.

Пусть ∠BAX = ∠YAX = α. Так как AX = BX, то треугольник ABX равнобедренный, и ∠BAX = ∠ABX = α. Следовательно, ∠AXB = 180° - 2α.

Угол AXB является внешним углом треугольника AXC, поэтому ∠AXB = ∠XAC + ∠XCA, то есть 180° - 2α = (75° - α) + 75°. Отсюда α = 30°.

Значит, ∠BAX = ∠YAX = 30°, и ∠BAY = ∠BAX + ∠YAX = 30° + 30° = 60°.

Рассмотрим треугольники ABX и AXY: AB = BC, AX = BX, ∠BAX = ∠YAX. Следовательно, треугольники ABX и AXY равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что AY = AX. Так как AX = 20, то AY = 20.

Ответ: AY = 20